Номер 44.19, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.19, страница 182.

44.19 a) $$\begin{cases} \log_5(x + y) = 1, \\ \log_6 x + \log_6 y = 1; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \log_{0.5}(x + 2y) = \log_{0.5}(3x + y), \\ \log_7(x^2 - y) = \log_7 x. \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_5(x + y) = 1, \\ \log_6 x + \log_6 y = 1; \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x + y > 0, \\ x > 0, \\ y > 0. \end{cases} $$ Из условий $x > 0$ и $y > 0$ следует, что $x + y > 0$. Таким образом, ОДЗ системы: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем каждое уравнение системы, используя определение и свойства логарифмов. Из первого уравнения, по определению логарифма ($ \log_a b = c \iff b = a^c $): $x + y = 5^1$, что дает $x + y = 5$.

Второе уравнение преобразуем, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $\log_6 (xy) = 1$. По определению логарифма: $xy = 6^1$, что дает $xy = 6$.

В результате получаем равносильную систему алгебраических уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases} $$

Данная система является обратной теоремой Виета для квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. Корнями этого уравнения будут искомые значения $x$ и $y$. Найдем корни уравнения: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. $t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$. $t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ ($x > 0, y > 0$). Для пары $(2, 3)$: $x = 2 > 0$ и $y = 3 > 0$. Решение подходит. Для пары $(3, 2)$: $x = 3 > 0$ и $y = 2 > 0$. Решение также подходит.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_{0,5}(x + 2y) = \log_{0,5}(3x + y), \\ \log_7(x^2 - y) = \log_7 x. \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x + 2y > 0, \\ 3x + y > 0, \\ x^2 - y > 0, \\ x > 0. \end{cases} $$

Так как в каждом уравнении основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы. Это преобразование является равносильным при учете ОДЗ. Из первого уравнения: $x + 2y = 3x + y$ $y = 2x$.

Из второго уравнения: $x^2 - y = x$.

Получаем систему алгебраических уравнений: $$ \begin{cases} y = 2x, \\ x^2 - y = x. \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе: $x^2 - (2x) = x$ $x^2 - 3x = 0$ $x(x - 3) = 0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим найденные значения на соответствие ОДЗ. 1. Если $x = 0$, это противоречит условию ОДЗ $x > 0$. Следовательно, $x=0$ не является решением. 2. Если $x = 3$, найдем соответствующее значение $y$ из уравнения $y = 2x$: $y = 2 \cdot 3 = 6$. Получили пару $(3, 6)$. Проверим ее по всем условиям ОДЗ:

• $x > 0 \implies 3 > 0$ (верно)
• $x + 2y > 0 \implies 3 + 2(6) = 15 > 0$ (верно)
• $3x + y > 0 \implies 3(3) + 6 = 15 > 0$ (верно)
• $x^2 - y > 0 \implies 3^2 - 6 = 9 - 6 = 3 > 0$ (верно)

Все условия ОДЗ выполнены, значит пара $(3, 6)$ является решением системы.

Ответ: $(3, 6)$.