Номер 44.15, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.15, страница 181.

44.15 a) $\log_5(6 - 5^x) = 1 - x$;

б) $\log_3(4 \cdot 3^{x-1} - 1) = 2x - 1$.

а) $\log_5(6 - 5^x) = 1 - x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$6 - 5^x > 0$

$5^x < 6$

Прологарифмировав обе части по основанию 5, получаем:

$x < \log_5(6)$

Теперь решим само уравнение. По определению логарифма $\log_b a = c \iff a = b^c$:

$6 - 5^x = 5^{1-x}$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем правую часть:

$6 - 5^x = \frac{5^1}{5^x}$

$6 - 5^x = \frac{5}{5^x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$6 - t = \frac{5}{t}$

Умножим обе части уравнения на $t$ (это возможно, так как $t \neq 0$):

$t(6 - t) = 5$

$6t - t^2 = 5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни легко находятся: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1) $5^x = t_1 = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x_1 = 0$.

2) $5^x = t_2 = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x_2 = 1$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ $x < \log_5(6)$.

Так как $5^1 = 5 < 6$, то $1 < \log_5(6)$.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 < \log_5(6)$.

Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет условию $1 < \log_5(6)$.

Оба корня подходят.

Ответ: $0; 1$.

---

б) $\log_3(4 \cdot 3^{x-1} - 1) = 2x - 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$4 \cdot 3^{x-1} - 1 > 0$

$4 \cdot \frac{3^x}{3} > 1$

$\frac{4}{3} \cdot 3^x > 1$

$3^x > \frac{3}{4}$

Прологарифмировав обе части по основанию 3, получаем:

$x > \log_3(\frac{3}{4})$ (это отрицательное число, так как $\frac{3}{4} < 1$)

Теперь решим само уравнение. По определению логарифма:

$4 \cdot 3^{x-1} - 1 = 3^{2x-1}$

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:

$4 \cdot \frac{3^x}{3^1} - 1 = \frac{3^{2x}}{3^1}$

$\frac{4}{3} \cdot 3^x - 1 = \frac{(3^x)^2}{3}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $t > 0$.

$\frac{4}{3}t - 1 = \frac{t^2}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$4t - 3 = t^2$

Перенесем все в одну сторону:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 4, произведение равно 3. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

1) $3^x = t_1 = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x_1 = 0$.

2) $3^x = t_2 = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x_2 = 1$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ $x > \log_3(\frac{3}{4})$.

Корень $x_1 = 0$. Условие $0 > \log_3(\frac{3}{4})$ выполняется, так как $\log_3(\frac{3}{4}) < 0$.

Корень $x_2 = 1$. Условие $1 > \log_3(\frac{3}{4})$ выполняется, так как $1 > 0$, а $\log_3(\frac{3}{4}) < 0$.

Оба корня подходят.

Ответ: $0; 1$.