Номер 44.16, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.16, страница 182.

Решите уравнение:

44.16 a) $x^{\log_3 x} = 81;$

б) $x^{\log_{0.5} x} = \frac{1}{16};$

В) $x^{\log_2 x} = 16;$

Г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x} = \frac{1}{81}.$

а) $x^{\log_3 x} = 81$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(x^{\log_3 x}) = \log_3(81)$

Воспользуемся свойством логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$. Получим:

$(\log_3 x) \cdot (\log_3 x) = \log_3(3^4)$

$(\log_3 x)^2 = 4$

Введем замену $y = \log_3 x$. Уравнение примет вид:

$y^2 = 4$

Корни этого уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$.

2) $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $9; \frac{1}{9}$.

б) $x^{\log_{0,5} x} = \frac{1}{16}$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 0,5:

$\log_{0,5}(x^{\log_{0,5} x}) = \log_{0,5}(\frac{1}{16})$

Используя свойство логарифма степени:

$(\log_{0,5} x) \cdot (\log_{0,5} x) = \log_{0,5}((\frac{1}{2})^4) = \log_{0,5}((0,5)^4)$

$(\log_{0,5} x)^2 = 4$

Пусть $y = \log_{0,5} x$. Тогда $y^2 = 4$, откуда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_{0,5} x = 2 \implies x = (0,5)^2 = 0,25 = \frac{1}{4}$.

2) $\log_{0,5} x = -2 \implies x = (0,5)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $4; \frac{1}{4}$.

в) $x^{\log_2 x} = 16$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2(16)$

Используя свойство логарифма степени:

$(\log_2 x) \cdot (\log_2 x) = \log_2(2^4)$

$(\log_2 x)^2 = 4$

Пусть $y = \log_2 x$. Тогда $y^2 = 4$, откуда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.

2) $\log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $4; \frac{1}{4}$.

г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x} = \frac{1}{81}$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\frac{1}{3}$:

$\log_{\frac{1}{3}}(x^{\log_{\frac{1}{3}} x}) = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{81})$

Используя свойство логарифма степени:

$(\log_{\frac{1}{3}} x) \cdot (\log_{\frac{1}{3}} x) = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^4)$

$(\log_{\frac{1}{3}} x)^2 = 4$

Пусть $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Тогда $y^2 = 4$, откуда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_{\frac{1}{3}} x = 2 \implies x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

2) $\log_{\frac{1}{3}} x = -2 \implies x = (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $9; \frac{1}{9}$.