Номер 44.11, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. §44. Логарифмические уравнения - номер 44.11, страница 181.

Условие.

44.11 a) $log_{23}(2x - 1) - log_{23}x = 0;$

б) $log_{0.5}(4x - 1) - log_{0.5}(7x - 3) = 1;$

в) $log_{3.4}(x^2 - 5x + 8) - log_{3.4}x = 0;$

г) $log_{\frac{1}{2}}(x + 9) - log_{\frac{1}{2}}(8 - 3x) = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) $log_{23}(2x - 1) - log_{23}x = 0$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x > 1 \\ x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > 0 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$.

Перенесем второй логарифм в правую часть уравнения:
$log_{23}(2x - 1) = log_{23}x$
Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$2x - 1 = x$
$2x - x = 1$
$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ.
$1 > \frac{1}{2}$, следовательно, корень подходит.
Ответ: $x = 1$

б) $log_{0,5}(4x - 1) - log_{0,5}(7x - 3) = 1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 4x - 1 > 0 \\ 7x - 3 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x > 1 \\ 7x > 3 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x > \frac{3}{7} \end{cases}$
Так как $\frac{3}{7} > \frac{1}{4}$ (поскольку $12 > 7$), то ОДЗ: $x > \frac{3}{7}$.

Используем свойство разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$:
$log_{0,5}\frac{4x - 1}{7x - 3} = 1$
По определению логарифма ($log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$):
$\frac{4x - 1}{7x - 3} = 0,5^1$
$\frac{4x - 1}{7x - 3} = \frac{1}{2}$
Используем свойство пропорции:
$2(4x - 1) = 1(7x - 3)$
$8x - 2 = 7x - 3$
$8x - 7x = -3 + 2$
$x = -1$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x > \frac{3}{7}$).
$-1$ не больше $\frac{3}{7}$, следовательно, корень не входит в ОДЗ и является посторонним.
Ответ: нет корней

в) $log_{3,4}(x^2 - 5x + 8) - log_{3,4}x = 0$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 - 5x + 8 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$
Для квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 8$ найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), то парабола $y=x^2 - 5x + 8$ полностью лежит выше оси Ox, и, следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 8 > 0$ выполняется для любых действительных $x$.
Таким образом, ОДЗ определяется только вторым условием: $x > 0$.

Перенесем второй логарифм в правую часть уравнения:
$log_{3,4}(x^2 - 5x + 8) = log_{3,4}x$
Приравняем аргументы логарифмов:
$x^2 - 5x + 8 = x$
$x^2 - 6x + 8 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 6 \\ x_1 \cdot x_2 = 8 \end{cases}$
Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x = 2; x = 4$

г) $log_{\frac{1}{2}}(x + 9) - log_{\frac{1}{2}}(8 - 3x) = 2$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 9 > 0 \\ 8 - 3x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -9 \\ -3x > -8 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -9 \\ x < \frac{8}{3} \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $-9 < x < \frac{8}{3}$.

Используем свойство разности логарифмов:
$log_{\frac{1}{2}}\frac{x + 9}{8 - 3x} = 2$
По определению логарифма:
$\frac{x + 9}{8 - 3x} = (\frac{1}{2})^2$
$\frac{x + 9}{8 - 3x} = \frac{1}{4}$
Решим уравнение с помощью пропорции:
$4(x + 9) = 1(8 - 3x)$
$4x + 36 = 8 - 3x$
$4x + 3x = 8 - 36$
$7x = -28$
$x = -4$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($-9 < x < \frac{8}{3}$).
Так как $-9 < -4 < 2\frac{2}{3}$, корень $x=-4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = -4$