Номер 44.5, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.5, страница 180.

44.5 a) $log_2(x^2 + 7x - 5) = log_2(4x - 1);$

б) $log_{0,3}(-x^2 + 5x + 7) = log_{0,3}(10x - 7);$

в) $log_2(x^2 + x - 1) = log_2(-x + 7);$

г) $log_{0,2}(-x^2 + 4x + 5) = log_{0,2}(-x - 31).$

а) $ \log_2(x^2 + 7x - 5) = \log_2(4x - 1) $

Уравнение вида $ \log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) $ равносильно системе, состоящей из уравнения $ f(x) = g(x) $ и одного из неравенств $ f(x) > 0 $ или $ g(x) > 0 $ (выбираем то, которое проще решать). Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 7x - 5 = 4x - 1 \\ 4x - 1 > 0 \end{cases} $

Сначала решим уравнение:

$ x^2 + 7x - 5 - 4x + 1 = 0 $

$ x^2 + 3x - 4 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна $ -3 $, а их произведение равно $ -4 $. Корни уравнения: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -4 $.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни неравенству $ 4x - 1 > 0 $, то есть $ x > \frac{1}{4} $.

При $ x_1 = 1 $: $ 1 > \frac{1}{4} $. Это верное неравенство, значит, корень подходит.

При $ x_2 = -4 $: $ -4 > \frac{1}{4} $. Это неверное неравенство, значит, корень является посторонним.

Ответ: $ 1 $

б) $ \log_{0,3}(-x^2 + 5x + 7) = \log_{0,3}(10x - 7) $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} -x^2 + 5x + 7 = 10x - 7 \\ 10x - 7 > 0 \end{cases} $

Решим уравнение:

$ -x^2 + 5x + 7 - 10x + 7 = 0 $

$ -x^2 - 5x + 14 = 0 $

Умножим обе части на $ -1 $:

$ x^2 + 5x - 14 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна $ -5 $, а их произведение равно $ -14 $. Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -7 $.

Проверим корни по условию $ 10x - 7 > 0 $, то есть $ x > 0,7 $.

При $ x_1 = 2 $: $ 2 > 0,7 $. Это верно, корень подходит.

При $ x_2 = -7 $: $ -7 > 0,7 $. Это неверно, корень посторонний.

Ответ: $ 2 $

в) $ \log_2(x^2 + x - 1) = \log_2(-x + 7) $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + x - 1 = -x + 7 \\ -x + 7 > 0 \end{cases} $

Решим уравнение:

$ x^2 + x - 1 + x - 7 = 0 $

$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна $ -2 $, а их произведение равно $ -8 $. Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -4 $.

Проверим корни по условию $ -x + 7 > 0 $, то есть $ x < 7 $.

При $ x_1 = 2 $: $ 2 < 7 $. Это верно, корень подходит.

При $ x_2 = -4 $: $ -4 < 7 $. Это верно, корень также подходит.

Ответ: $ -4; 2 $

г) $ \log_{0,2}(-x^2 + 4x + 5) = \log_{0,2}(-x - 31) $

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} -x^2 + 4x + 5 = -x - 31 \\ -x - 31 > 0 \end{cases} $

Решим уравнение:

$ -x^2 + 4x + 5 + x + 31 = 0 $

$ -x^2 + 5x + 36 = 0 $

Умножим обе части на $ -1 $:

$ x^2 - 5x - 36 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна $ 5 $, а их произведение равно $ -36 $. Корни уравнения: $ x_1 = 9 $ и $ x_2 = -4 $.

Проверим корни по условию $ -x - 31 > 0 $, то есть $ -x > 31 $, или $ x < -31 $.

При $ x_1 = 9 $: $ 9 < -31 $. Это неверно, корень не подходит.

При $ x_2 = -4 $: $ -4 < -31 $. Это неверно, корень также не подходит.

Так как ни один из найденных корней не удовлетворяет области определения логарифмов, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет