Номер 44.8, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.8, страница 181.

44.8 a) $\log_2 x = \log_2 3 + \log_2 5$;

б) $\log_7 4 = \log_7 x - \log_7 9$;

в) $\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 18$;

г) $\log_{0,4} 9 - \log_{0,4} x = \log_{0,4} 3$.

а) Исходное уравнение: $\log_2 x = \log_2 3 + \log_2 5$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x > 0$.
Для решения воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.
Применим это свойство к правой части уравнения:
$\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2(3 \cdot 5) = \log_2 15$.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$\log_2 x = \log_2 15$.
Поскольку основания логарифмов равны, то и их аргументы должны быть равны:
$x = 15$.
Полученное значение $x=15$ удовлетворяет ОДЗ ($15 > 0$).
Ответ: $15$.

б) Исходное уравнение: $\log_7 4 = \log_7 x - \log_7 9$.
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем уравнение, перенеся логарифм с неизвестным в одну сторону, а известные члены - в другую:
$\log_7 4 + \log_7 9 = \log_7 x$.
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$ для левой части:
$\log_7(4 \cdot 9) = \log_7 x$.
$\log_7 36 = \log_7 x$.
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x = 36$.
Значение $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 > 0$).
Ответ: $36$.

в) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 18$.
ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$ для левой части уравнения:
$\log_{\frac{1}{3}}(4 \cdot x) = \log_{\frac{1}{3}} 18$.
Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$4x = 18$.
Решаем полученное линейное уравнение относительно $x$:
$x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$.
Значение $x=4.5$ удовлетворяет ОДЗ ($4.5 > 0$).
Ответ: $4.5$.

г) Исходное уравнение: $\log_{0.4} 9 - \log_{0.4} x = \log_{0.4} 3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$ для левой части уравнения:
$\log_{0.4}(\frac{9}{x}) = \log_{0.4} 3$.
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$\frac{9}{x} = 3$.
Решаем полученное уравнение относительно $x$:
$9 = 3x$.
$x = \frac{9}{3} = 3$.
Значение $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$).
Ответ: $3$.