Номер 44.13, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.13, страница 181.

44.13 a) $\lg^2 x - \lg x + 1 = \frac{9}{\lg 10x}$

б) $\log_3^2 x + 3 \log_3 x + 9 = \frac{37}{\log_3 \frac{x}{27}}$

в) $\lg^2 x - 2 \lg x + 4 = \frac{9}{\lg 100x}$

г) $\log_2^2 x + 7 \log_2 x + 49 = \frac{-218}{\log_2 \frac{x}{128}}$

а)

Исходное уравнение: $ \lg^2 x - \lg x + 1 = \frac{9}{\lg 10x} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, а знаменатель не должен равняться нулю:

$x > 0$

$\lg 10x \neq 0 \implies 10x \neq 1 \implies x \neq 0.1$.

Итак, ОДЗ: $x \in (0; 0.1) \cup (0.1; +\infty)$.

Упростим правую часть уравнения, используя свойство логарифма произведения: $\lg(ab) = \lg a + \lg b$.

$\lg 10x = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$ \lg^2 x - \lg x + 1 = \frac{9}{1 + \lg x} $

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$ t^2 - t + 1 = \frac{9}{t + 1} $

Умножим обе части на $(t+1)$, при условии, что $t+1 \neq 0$ (что соответствует нашему ОДЗ $x \neq 0.1$):

$(t + 1)(t^2 - t + 1) = 9$

В левой части мы видим формулу суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

$t^3 + 1^3 = 9$

$t^3 = 8$

$t = 2$

Теперь вернемся к исходной переменной:

$\lg x = 2$

$x = 10^2 = 100$.

Корень $x=100$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $100$

б)

Исходное уравнение: $ \log_3^2 x + 3\log_3 x + 9 = \frac{37}{\log_3 \frac{x}{27}} $.

ОДЗ:

$x > 0$

$\log_3 \frac{x}{27} \neq 0 \implies \frac{x}{27} \neq 1 \implies x \neq 27$.

ОДЗ: $x \in (0; 27) \cup (27; +\infty)$.

Упростим знаменатель в правой части, используя свойство логарифма частного: $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$.

$\log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x - \log_3 27 = \log_3 x - 3$.

Подставим в уравнение:

$ \log_3^2 x + 3\log_3 x + 9 = \frac{37}{\log_3 x - 3} $

Сделаем замену $t = \log_3 x$:

$ t^2 + 3t + 9 = \frac{37}{t - 3} $

Умножим обе части на $(t-3)$, при условии, что $t-3 \neq 0$ (что соответствует ОДЗ $x \neq 27$):

$(t - 3)(t^2 + 3t + 9) = 37$

В левой части формула разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.

$t^3 - 3^3 = 37$

$t^3 - 27 = 37$

$t^3 = 64$

$t = 4$

Вернемся к замене:

$\log_3 x = 4$

$x = 3^4 = 81$.

Корень $x=81$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $81$

в)

Исходное уравнение: $ \lg^2 x - 2\lg x + 4 = \frac{9}{\lg 100x} $.

ОДЗ:

$x > 0$

$\lg 100x \neq 0 \implies 100x \neq 1 \implies x \neq 0.01$.

ОДЗ: $x \in (0; 0.01) \cup (0.01; +\infty)$.

Упростим правую часть:

$\lg 100x = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x$.

Подставим в уравнение:

$ \lg^2 x - 2\lg x + 4 = \frac{9}{2 + \lg x} $

Сделаем замену $t = \lg x$:

$ t^2 - 2t + 4 = \frac{9}{t + 2} $

Умножим обе части на $(t+2)$, при условии, что $t+2 \neq 0$ (что соответствует ОДЗ $x \neq 0.01$):

$(t + 2)(t^2 - 2t + 4) = 9$

В левой части формула суммы кубов:

$t^3 + 2^3 = 9$

$t^3 + 8 = 9$

$t^3 = 1$

$t = 1$

Вернемся к замене:

$\lg x = 1$

$x = 10^1 = 10$.

Корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $10$

г)

Исходное уравнение: $ \log_2^2 x + 7\log_2 x + 49 = \frac{-218}{\log_2 \frac{x}{128}} $.

ОДЗ:

$x > 0$

$\log_2 \frac{x}{128} \neq 0 \implies \frac{x}{128} \neq 1 \implies x \neq 128$.

ОДЗ: $x \in (0; 128) \cup (128; +\infty)$.

Упростим знаменатель:

$\log_2 \frac{x}{128} = \log_2 x - \log_2 128 = \log_2 x - \log_2 2^7 = \log_2 x - 7$.

Подставим в уравнение:

$ \log_2^2 x + 7\log_2 x + 49 = \frac{-218}{\log_2 x - 7} $

Сделаем замену $t = \log_2 x$:

$ t^2 + 7t + 49 = \frac{-218}{t - 7} $

Умножим обе части на $(t-7)$, при условии, что $t-7 \neq 0$ (что соответствует ОДЗ $x \neq 128$):

$(t - 7)(t^2 + 7t + 49) = -218$

В левой части формула разности кубов:

$t^3 - 7^3 = -218$

$t^3 - 343 = -218$

$t^3 = 343 - 218$

$t^3 = 125$

$t = 5$

Вернемся к замене:

$\log_2 x = 5$

$x = 2^5 = 32$.

Корень $x=32$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $32$