Номер 44.14, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.14, страница 181.

44.14 a) $\lg (100x) \cdot \lg x = -1;$

б) $\lg^2 (10x) + \lg (10x) = 6 - 3 \lg \frac{1}{x}.$

а)

Исходное уравнение: $\lg(100x) \cdot \lg x = -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмических функций определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным. В данном случае:

$x > 0$.

Воспользуемся свойством логарифма произведения: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$. В нашем случае основание логарифма равно 10 (десятичный логарифм $\lg$).

$\lg(100x) = \lg 100 + \lg x$.

Так как $\lg 100 = \lg(10^2) = 2$, уравнение можно переписать в виде:

$(2 + \lg x) \cdot \lg x = -1$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение примет вид:

$(2 + t) \cdot t = -1$.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$2t + t^2 = -1$

$t^2 + 2t + 1 = 0$.

Это формула квадрата суммы: $(t + 1)^2 = 0$.

Отсюда находим $t = -1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Так как $t = \lg x$, получаем:

$\lg x = -1$.

По определению десятичного логарифма:

$x = 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1$.

Полученное значение $x=0.1$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $0.1$.

б)

Исходное уравнение: $\lg^2 10x + \lg 10x = 6 - 3\lg\frac{1}{x}$.

ОДЗ: $10x > 0$ и $\frac{1}{x} > 0$, что эквивалентно условию $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

1. $\lg 10x = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$.

2. $\lg\frac{1}{x} = \lg(x^{-1}) = - \lg x$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(1 + \lg x)^2 + (1 + \lg x) = 6 - 3(-\lg x)$.

$(1 + \lg x)^2 + 1 + \lg x = 6 + 3\lg x$.

Произведем замену переменной. Пусть $t = \lg x$.

$(1 + t)^2 + 1 + t = 6 + 3t$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 + 2t + t^2 + 1 + t = 6 + 3t$

$t^2 + 3t + 2 = 6 + 3t$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$t^2 + 3t - 3t + 2 - 6 = 0$

$t^2 - 4 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение, которое можно решить разложением на множители (разность квадратов):

$(t - 2)(t + 2) = 0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 2$ и $t_2 = -2$.

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $t = 2$, то $\lg x = 2$, откуда $x = 10^2 = 100$.

2. Если $t = -2$, то $\lg x = -2$, откуда $x = 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0.01$.

Оба корня, $x_1=100$ и $x_2=0.01$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $0.01; 100$.