Номер 44.21, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.21, страница 182.
№44.21 (с. 182)
Условие. №44.21 (с. 182)
скриншот условия

44.21 a) $\begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1; \end{cases}$
б) $\begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81, \\ \log_2 x + \log_2 y = 1. \end{cases}$
Решение 1. №44.21 (с. 182)

Решение 2. №44.21 (с. 182)


Решение 5. №44.21 (с. 182)


Решение 6. №44.21 (с. 182)
а)
Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1. \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{x+y} = 16$
Так как $16 = 2^4$, получаем:
$2^{x+y} = 2^4$
$x+y = 4$
Теперь преобразуем второе уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов: $x > 0$ и $y > 0$.
Используем свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_3(xy) = 1$
По определению логарифма:
$xy = 3^1$
$xy = 3$
Теперь у нас есть система из двух более простых уравнений:
$ \begin{cases} x+y = 4, \\ xy = 3. \end{cases} $
Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 4 - x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x(4-x) = 3$
$4x - x^2 = 3$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:
$x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 4 - 1 = 3$.
Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 4 - 3 = 1$.
Оба решения $(1, 3)$ и $(3, 1)$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0, y > 0$).
Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.
б)
Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81, \\ \log_2 x + \log_2 y = 1. \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, приведя все степени к основанию 3:
$(3^2)^x \cdot 3^y = 3^4$
$3^{2x} \cdot 3^y = 3^4$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{2x+y} = 3^4$
$2x+y = 4$
Теперь преобразуем второе уравнение. ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.
Используем свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_2(xy) = 1$
По определению логарифма:
$xy = 2^1$
$xy = 2$
Получили систему:
$ \begin{cases} 2x+y = 4, \\ xy = 2. \end{cases} $
Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 4 - 2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x(4 - 2x) = 2$
$4x - 2x^2 = 2$
Разделим обе части на 2 и перенесем все в одну сторону:
$2x - x^2 = 1$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x-1)^2 = 0$
Отсюда $x = 1$.
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 4 - 2x = 4 - 2(1) = 2$.
Решение $(1, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0, y > 0$).
Ответ: $(1, 2)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 44.21 расположенного на странице 182 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №44.21 (с. 182), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.