Номер 44.21, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. §44. Логарифмические уравнения - номер 44.21, страница 182.

Условие.

44.21 a) $\begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81, \\ \log_2 x + \log_2 y = 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{x+y} = 16$

Так как $16 = 2^4$, получаем:

$2^{x+y} = 2^4$

$x+y = 4$

Теперь преобразуем второе уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов: $x > 0$ и $y > 0$.

Используем свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_3(xy) = 1$

По определению логарифма:

$xy = 3^1$

$xy = 3$

Теперь у нас есть система из двух более простых уравнений:

$ \begin{cases} x+y = 4, \\ xy = 3. \end{cases} $

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 4 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(4-x) = 3$

$4x - x^2 = 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 4 - 1 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 4 - 3 = 1$.

Оба решения $(1, 3)$ и $(3, 1)$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0, y > 0$).

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81, \\ \log_2 x + \log_2 y = 1. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, приведя все степени к основанию 3:

$(3^2)^x \cdot 3^y = 3^4$

$3^{2x} \cdot 3^y = 3^4$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{2x+y} = 3^4$

$2x+y = 4$

Теперь преобразуем второе уравнение. ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Используем свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_2(xy) = 1$

По определению логарифма:

$xy = 2^1$

$xy = 2$

Получили систему:

$ \begin{cases} 2x+y = 4, \\ xy = 2. \end{cases} $

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 4 - 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(4 - 2x) = 2$

$4x - 2x^2 = 2$

Разделим обе части на 2 и перенесем все в одну сторону:

$2x - x^2 = 1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x-1)^2 = 0$

Отсюда $x = 1$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 4 - 2x = 4 - 2(1) = 2$.

Решение $(1, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0, y > 0$).

Ответ: $(1, 2)$.