Номер 45.1, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.1, страница 183.

Решите неравенство:

45.1 a) $\log_2 x \geq 4;$

б) $\log_2 x \leq -3;$

в) $\log_2 x < \frac{1}{2};$

г) $\log_2 x > -\frac{1}{2}.$

а) $\log_2 x \ge 4$
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма определяется условием, что его аргумент должен быть строго больше нуля, то есть $x > 0$.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2: $4 = 4 \cdot \log_2 2 = \log_2(2^4) = \log_2 16$.
Исходное неравенство можно переписать в виде: $\log_2 x \ge \log_2 16$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому, переходя от логарифмов к их аргументам, мы сохраняем знак неравенства:
$x \ge 16$.
Сравнивая полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), видим, что условие $x \ge 16$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $[16; +\infty)$.

б) $\log_2 x \le -3$
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2: $-3 = -3 \cdot \log_2 2 = \log_2(2^{-3}) = \log_2\left(\frac{1}{8}\right)$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 x \le \log_2\left(\frac{1}{8}\right)$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Сохраняем знак неравенства при переходе к аргументам:
$x \le \frac{1}{8}$.
Теперь необходимо учесть ОДЗ, то есть $x > 0$. Объединяя два условия $x > 0$ и $x \le \frac{1}{8}$, получаем итоговое решение.
Ответ: $(0; \frac{1}{8}]$.

в) $\log_2 x < \frac{1}{2}$
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \log_2 2 = \log_2(2^{1/2}) = \log_2\sqrt{2}$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 x < \log_2\sqrt{2}$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:
$x < \sqrt{2}$.
С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < \sqrt{2}$.
Ответ: $(0; \sqrt{2})$.

г) $\log_2 x > -\frac{1}{2}$
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2: $-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \log_2 2 = \log_2(2^{-1/2}) = \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Неравенство принимает вид: $\log_2 x > \log_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Сохраняем знак неравенства:
$x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{\sqrt{2}}{2} > 0$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$.