Номер 45.3, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.3, страница 183.

45.3 a) $ \log_5(3x + 1) < 2; $

б) $ \log_{0.5}\frac{x}{3} \ge -2; $

в) $ \log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{5} > 1; $

г) $ \log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < 4. $

а) $\log_5(3x + 1) < 2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным:

$3x + 1 > 0$

$3x > -1$

$x > -\frac{1}{3}$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5:

$2 = \log_5(5^2) = \log_5(25)$

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_5(3x + 1) < \log_5(25)$

3. Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что для аргументов сохраняется тот же знак неравенства:

$3x + 1 < 25$

$3x < 24$

$x < 8$

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > -\frac{1}{3}$ и $x < 8$.

Это соответствует интервалу $(-\frac{1}{3}; 8)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; 8)$.

б) $\log_{0,5}\frac{x}{3} \ge -2$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$\frac{x}{3} > 0$

$x > 0$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5:

$-2 = \log_{0,5}(0,5^{-2}) = \log_{0,5}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{0,5}(4)$

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_{0,5}\frac{x}{3} \ge \log_{0,5}(4)$

3. Так как основание логарифма $0,5 \in (0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x}{3} \le 4$

$x \le 12$

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > 0$ и $x \le 12$.

Это соответствует полуинтервалу $(0; 12]$.

Ответ: $x \in (0; 12]$.

в) $\log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{5} > 1$

1. Найдем ОДЗ:

$\frac{x}{5} > 0$

$x > 0$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{4}$:

$1 = \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{5} > \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$

3. Так как основание логарифма $\frac{1}{4} \in (0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

$\frac{x}{5} < \frac{1}{4}$

$x < \frac{5}{4}$

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > 0$ и $x < \frac{5}{4}$.

Это соответствует интервалу $(0; \frac{5}{4})$.

Ответ: $x \in (0; \frac{5}{4})$.

г) $\log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < 4$

1. Найдем ОДЗ:

$2x - 3 > 0$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\sqrt{3}$:

$4 = \log_{\sqrt{3}}((\sqrt{3})^4) = \log_{\sqrt{3}}(9)$

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < \log_{\sqrt{3}}(9)$

3. Так как основание логарифма $\sqrt{3} > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства для аргументов сохраняется:

$2x - 3 < 9$

$2x < 12$

$x < 6$

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x > \frac{3}{2}$ и $x < 6$.

Это соответствует интервалу $(\frac{3}{2}; 6)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}; 6)$.