Номер 45.5, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.5, страница 183.

45.5 a) $log_2(5x - 9) \le log_2(3x + 1);$

б) $log_{0,4}(12x + 2) \ge log_{0,4}(10x + 16);$

в) $log_{\frac{1}{3}}(-x) > log_{\frac{1}{3}}(4 - 2x);$

г) $log_{2,5}(6 - x) < log_{2,5}(4 - 3x).$

а) Дано логарифмическое неравенство $\log_2(5x - 9) \le \log_2(3x + 1)$.
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 5x - 9 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5x > 9 \\ 3x > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{9}{5} \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases}$.
Пересечением этих двух условий является $x > \frac{9}{5}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{9}{5}; +\infty)$.
2. Решим неравенство. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$5x - 9 \le 3x + 1$
$5x - 3x \le 1 + 9$
$2x \le 10$
$x \le 5$.
3. Найдём пересечение полученного решения с ОДЗ: $\begin{cases} x \le 5 \\ x > \frac{9}{5} \end{cases}$.
Результатом является интервал $(\frac{9}{5}; 5]$.
Ответ: $(\frac{9}{5}; 5]$.

б) Дано логарифмическое неравенство $\log_{0,4}(12x + 2) \ge \log_{0,4}(10x + 16)$.
1. Найдём ОДЗ:
$\begin{cases} 12x + 2 > 0 \\ 10x + 16 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 12x > -2 \\ 10x > -16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -\frac{2}{12} \\ x > -\frac{16}{10} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -\frac{1}{6} \\ x > -1,6 \end{cases}$.
Пересечением этих условий является $x > -\frac{1}{6}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\frac{1}{6}; +\infty)$.
2. Решим неравенство. Основание логарифма $0,4 < 1$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$12x + 2 \le 10x + 16$
$12x - 10x \le 16 - 2$
$2x \le 14$
$x \le 7$.
3. Найдём пересечение решения с ОДЗ: $\begin{cases} x \le 7 \\ x > -\frac{1}{6} \end{cases}$.
Результатом является интервал $(-\frac{1}{6}; 7]$.
Ответ: $(-\frac{1}{6}; 7]$.

в) Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(-x) > \log_{\frac{1}{3}}(4 - 2x)$.
1. Найдём ОДЗ:
$\begin{cases} -x > 0 \\ 4 - 2x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ -2x > -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x < 2 \end{cases}$.
Пересечением этих условий является $x < 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0)$.
2. Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому логарифмическая функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный:
$-x < 4 - 2x$
$-x + 2x < 4$
$x < 4$.
3. Найдём пересечение решения с ОДЗ: $\begin{cases} x < 4 \\ x < 0 \end{cases}$.
Результатом является интервал $(-\infty; 0)$.
Ответ: $(-\infty; 0)$.

г) Дано логарифмическое неравенство $\log_{2,5}(6 - x) < \log_{2,5}(4 - 3x)$.
1. Найдём ОДЗ:
$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ 4 - 3x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 6 \\ -3x > -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 6 \\ x < \frac{4}{3} \end{cases}$.
Пересечением этих условий является $x < \frac{4}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3})$.
2. Решим неравенство. Основание логарифма $2,5 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:
$6 - x < 4 - 3x$
$-x + 3x < 4 - 6$
$2x < -2$
$x < -1$.
3. Найдём пересечение решения с ОДЗ: $\begin{cases} x < -1 \\ x < \frac{4}{3} \end{cases}$.
Результатом является интервал $(-\infty; -1)$.
Ответ: $(-\infty; -1)$.