Номер 44.25, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.25, страница 183.

44.25 a) $x^2 \log_{36} (5x^2 - 2x - 3) - x \log_{\frac{1}{6}} \sqrt{5x^2 - 2x - 3} = x^2 + x;$

б) $x^2 \log_2 \frac{3 + x}{10} - x^2 \log_{\frac{1}{2}} (2 + 3x) = x^2 - 4 + 2\log_{\sqrt{2}} \frac{3x^2 + 11x + 6}{10}.$

а) $x^2 \log_{36} (5x^2 - 2x - 3) - x \log_{\frac{1}{6}} \sqrt{5x^2 - 2x - 3} = x^2 + x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$5x^2 - 2x - 3 > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $5x^2 - 2x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$
$x_2 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
Парабола $y = 5x^2 - 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x < -0.6$ или $x > 1$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -0.6) \cup (1; +\infty)$.

Преобразуем логарифмы в уравнении, используя свойства логарифмов $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и $\log_a b^k = k \log_a b$:
$\log_{36} (5x^2 - 2x - 3) = \log_{6^2} (5x^2 - 2x - 3) = \frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3)$
$\log_{\frac{1}{6}} \sqrt{5x^2 - 2x - 3} = \log_{6^{-1}} (5x^2 - 2x - 3)^{\frac{1}{2}} = -1 \cdot \frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) = -\frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3)$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$x^2 \cdot \frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) - x \cdot \left(-\frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3)\right) = x^2 + x$
$\frac{x^2}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) + \frac{x}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) = x^2 + x$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\frac{1}{2} (x^2 + x) \log_6 (5x^2 - 2x - 3) = x^2 + x$
Перенесем все в левую часть и сгруппируем:
$(x^2 + x) \left(\frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) - 1\right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x^2 + x = 0 \implies x(x+1) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x=0$ не входит в ОДЗ.
$x=-1$ входит в ОДЗ, так как $-1 < -0.6$.

2) $\frac{1}{2} \log_6 (5x^2 - 2x - 3) - 1 = 0$
$\log_6 (5x^2 - 2x - 3) = 2$
$5x^2 - 2x - 3 = 6^2$
$5x^2 - 2x - 3 = 36$
$5x^2 - 2x - 39 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-39) = 4 + 780 = 784 = 28^2$.
$x_3 = \frac{2 - 28}{10} = \frac{-26}{10} = -2.6$
$x_4 = \frac{2 + 28}{10} = \frac{30}{10} = 3$
Проверим корни по ОДЗ:
$x=-2.6$ входит в ОДЗ, так как $-2.6 < -0.6$.
$x=3$ входит в ОДЗ, так как $3 > 1$.

Ответ: $\{-2.6; -1; 3\}$.

---

б) $x^2 \log_2 \frac{3+x}{10} - x^2 \log_{\frac{1}{2}} (2+3x) = x^2 - 4 + 2\log_{\sqrt{2}} \frac{3x^2+11x+6}{10}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все выражения под знаками логарифмов должны быть положительными:
1) $\frac{3+x}{10} > 0 \implies 3+x > 0 \implies x > -3$
2) $2+3x > 0 \implies 3x > -2 \implies x > -2/3$
3) $\frac{3x^2+11x+6}{10} > 0 \implies 3x^2+11x+6 > 0$. Корни трехчлена $3x^2+11x+6=0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = -2/3$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (-2/3; +\infty)$.
Пересечением всех трех условий является интервал $x > -2/3$.
ОДЗ: $x \in (-2/3; +\infty)$.

Преобразуем левую часть уравнения:
$x^2 \log_2 \frac{3+x}{10} - x^2 \log_{2^{-1}} (2+3x) = x^2 \left(\log_2 \frac{3+x}{10} + \log_2 (2+3x)\right)$
$= x^2 \log_2 \left(\frac{3+x}{10} \cdot (2+3x)\right) = x^2 \log_2 \frac{3x^2+2x+9x+6}{10} = x^2 \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$.

Преобразуем последний член в правой части уравнения:
$2\log_{\sqrt{2}} \frac{3x^2+11x+6}{10} = 2\log_{2^{1/2}} \frac{3x^2+11x+6}{10} = 2 \cdot \frac{1}{1/2} \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10} = 4\log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$.

Подставим преобразованные части в исходное уравнение:
$x^2 \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10} = x^2 - 4 + 4\log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$
Сделаем замену $A = \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$.
$x^2 A = x^2 - 4 + 4A$
Перенесем члены с A в одну сторону, а остальные в другую:
$x^2 A - 4A = x^2 - 4$
$A(x^2 - 4) = x^2 - 4$

Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $x^2 - 4 = 0$. Отсюда $x=2$ или $x=-2$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > -2/3$):
$x=2$ входит в ОДЗ.
$x=-2$ не входит в ОДЗ.
Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения.

2) $x^2 - 4 \neq 0$. Тогда можно разделить обе части уравнения на $(x^2 - 4)$:
$A = 1$
Возвращаемся к исходной переменной:
$\log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10} = 1$
$\frac{3x^2+11x+6}{10} = 2^1 = 2$
$3x^2+11x+6 = 20$
$3x^2+11x-14 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения.
Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.
$x_1 = \frac{-11 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-28}{6} = -\frac{14}{3}$
$x_2 = \frac{-11 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
Проверим корни по ОДЗ ($x > -2/3$):
$x = -14/3$ не входит в ОДЗ.
$x = 1$ входит в ОДЗ. Также для этого корня выполняется условие $x^2-4 = 1-4 = -3 \neq 0$.
Следовательно, $x=1$ является корнем уравнения.

Ответ: $\{1; 2\}$.