Номер 44.22, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.22, страница 182.

44.22 a) $\begin{cases} (\frac{1}{3})^{2x} \cdot (\frac{1}{3})^{-y} = \frac{1}{27}, \\ \log_2 2x - \log_2 y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (\frac{1}{2})^{x} \cdot (\sqrt{2})^{y} = \log_9 3, \\ \log_4 y - \log_4 x = 1. \end{cases}$

a)

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (\frac{1}{3})^{2x} \cdot (\frac{1}{3})^{-y} = \frac{1}{27} \\ \log_2 2x - \log_2 y = 2 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$2x > 0 \Rightarrow x > 0$

$y > 0$

Преобразуем первое уравнение системы. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$(\frac{1}{3})^{2x - y} = \frac{1}{27}$

Так как $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$, уравнение принимает вид:

$(\frac{1}{3})^{2x - y} = (\frac{1}{3})^3$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$2x - y = 3$

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Используя свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$, получим:

$\log_2(\frac{2x}{y}) = 2$

По определению логарифма:

$\frac{2x}{y} = 2^2$

$\frac{2x}{y} = 4$

$2x = 4y$

$x = 2y$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x = 2y \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое:

$2(2y) - y = 3$

$4y - y = 3$

$3y = 3$

$y = 1$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в уравнение $x=2y$:

$x = 2 \cdot 1 = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(2, 1)$ ОДЗ:

$x=2 > 0$ и $y=1 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(2, 1)$

б)

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (\frac{1}{2})^x \cdot (\sqrt{2})^y = \log_9 3 \\ \log_4 y - \log_4 x = 1 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$x > 0$

$y > 0$

Преобразуем первое уравнение системы. Сначала упростим правую часть:

$\log_9 3 = \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2} \log_3 3 = \frac{1}{2}$

Теперь преобразуем левую часть уравнения, приведя все к основанию 2:

$(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$

$(\sqrt{2})^y = (2^{1/2})^y = 2^{y/2}$

Тогда первое уравнение принимает вид:

$2^{-x} \cdot 2^{y/2} = \frac{1}{2}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{-x + \frac{y}{2}} = 2^{-1}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$-x + \frac{y}{2} = -1$

Умножим обе части на 2:

$-2x + y = -2$ или $y = 2x - 2$

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Используя свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$, получим:

$\log_4(\frac{y}{x}) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{y}{x} = 4^1$

$\frac{y}{x} = 4$

$y = 4x$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} y = 2x - 2 \\ y = 4x \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений:

$4x = 2x - 2$

$2x = -2$

$x = -1$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в уравнение $y=4x$:

$y = 4 \cdot (-1) = -4$

Мы получили решение $(-1, -4)$. Однако это решение не удовлетворяет ОДЗ, так как требуется, чтобы $x > 0$ и $y > 0$.

Поскольку $x = -1 < 0$ и $y = -4 < 0$, данная пара чисел не является решением исходной системы.

Ответ: нет решений.