Номер 44.24, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.24, страница 183.

44.24 a) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12;$

б) $10^{\lg^2 x} + 9x^{\lg x} = 1000.$

а) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

Преобразуем первое слагаемое $6^{\log_6^2 x}$. Заметим, что $\log_6^2 x = (\log_6 x)^2$.
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, можно записать:
$6^{\log_6^2 x} = 6^{(\log_6 x) \cdot (\log_6 x)} = (6^{\log_6 x})^{\log_6 x}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $6^{\log_6 x} = x$.
Следовательно, первое слагаемое равно $x^{\log_6 x}$.

Теперь уравнение принимает вид:
$x^{\log_6 x} + x^{\log_6 x} = 12$

$2 \cdot x^{\log_6 x} = 12$

$x^{\log_6 x} = 6$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6. Так как $x > 0$ и правая часть положительна, это преобразование является равносильным.

$\log_6(x^{\log_6 x}) = \log_6 6$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем:

$(\log_6 x) \cdot (\log_6 x) = 1$

$(\log_6 x)^2 = 1$

Отсюда следует, что $\log_6 x$ может принимать два значения:
$\log_6 x = 1$ или $\log_6 x = -1$.

Решим каждое уравнение:
1) Если $\log_6 x = 1$, то $x = 6^1 = 6$.
2) Если $\log_6 x = -1$, то $x = 6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Оба корня $x=6$ и $x=\frac{1}{6}$ удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $6; \frac{1}{6}$.

---

б) $10^{\lg^2 x} + 9x^{\lg x} = 1000$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.
Напомним, что $\lg x$ это краткая запись для десятичного логарифма, т.е. $\log_{10} x$.

Преобразуем первое слагаемое $10^{\lg^2 x}$.
$10^{\lg^2 x} = 10^{(\lg x)^2} = (10^{\lg x})^{\lg x}$.
По основному логарифмическому тождеству $10^{\lg x} = x$.
Следовательно, $10^{\lg^2 x} = x^{\lg x}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^{\lg x} + 9x^{\lg x} = 1000$

$10 \cdot x^{\lg x} = 1000$

$x^{\lg x} = 100$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (возьмем десятичный логарифм):

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(100)$

Используя свойство логарифма степени, получаем:

$(\lg x) \cdot (\lg x) = \lg(10^2)$

$(\lg x)^2 = 2$

Отсюда следует, что $\lg x$ может принимать два значения:
$\lg x = \sqrt{2}$ или $\lg x = -\sqrt{2}$.

Найдем $x$ для каждого случая:
1) Если $\lg x = \sqrt{2}$, то $x = 10^{\sqrt{2}}$.
2) Если $\lg x = -\sqrt{2}$, то $x = 10^{-\sqrt{2}}$.

Оба корня $x=10^{\sqrt{2}}$ и $x=10^{-\sqrt{2}}$ являются положительными числами и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10^{\sqrt{2}}; 10^{-\sqrt{2}}$.