Номер 44.20, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.20, страница 182.

44.20 a) $\begin{cases} \log_9(x - y) = \frac{1}{2}, \\ \log_{64} x - \log_{64} y = \frac{1}{3} \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(3x - y) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 4), \\ \log_9(x^2 + x - y) = \log_9 x^2 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \log_9(x - y) = \frac{1}{2} \\ \log_{64}x - \log_{64}y = \frac{1}{3} \end{cases} $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$$ \begin{cases} x - y > 0 \\ x > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства следует, что $x > y$. Совмещая с остальными условиями, получаем ОДЗ: $x > y > 0$.

2. Преобразуем первое уравнение системы, используя определение логарифма ($\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$):

$\log_9(x - y) = \frac{1}{2}$

$x - y = 9^{\frac{1}{2}}$

$x - y = \sqrt{9}$

$x - y = 3$

3. Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство разности логарифмов ($\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$):

$\log_{64}x - \log_{64}y = \frac{1}{3}$

$\log_{64}\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{3}$

По определению логарифма:

$\frac{x}{y} = 64^{\frac{1}{3}}$

$\frac{x}{y} = \sqrt[3]{64}$

$\frac{x}{y} = 4$

4. В результате преобразований мы получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 3 \\ \frac{x}{y} = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 4y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4y - y = 3$

$3y = 3$

$y = 1$

Теперь найдем $x$:

$x = 4y = 4 \cdot 1 = 4$

5. Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(4; 1)$ области допустимых значений $x > y > 0$.

$4 > 1 > 0$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.

Ответ: $(4; 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(3x - y) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 4) \\ \log_9(x^2 + x - y) = \log_9 x^2 \end{cases} $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:

$$ \begin{cases} 3x - y > 0 \\ x + 4 > 0 \\ x^2 + x - y > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases} $$

Из второго неравенства получаем $x > -4$. Из четвертого неравенства следует, что $x \neq 0$.

2. Решим первое уравнение. Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы (потенцировать уравнение):

$3x - y = x + 4$

$2x - 4 = y$

3. Решим второе уравнение. Аналогично первому, приравняем аргументы:

$x^2 + x - y = x^2$

$x - y = 0$

$x = y$

4. Объединим полученные выражения в систему и решим ее:

$$ \begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = x \end{cases} $$

Подставим $y=x$ в первое уравнение:

$x = 2x - 4$

$4 = 2x - x$

$x = 4$

Так как $y=x$, то $y = 4$.

5. Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(4; 4)$ всем условиям ОДЗ.

• $3x - y > 0 \Rightarrow 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8 > 0$ (Верно)
• $x + 4 > 0 \Rightarrow 4 + 4 = 8 > 0$ (Верно)
• $x^2 + x - y > 0 \Rightarrow 4^2 + 4 - 4 = 16 > 0$ (Верно)
• $x^2 > 0 \Rightarrow 4^2 = 16 > 0$ (Верно)

Решение удовлетворяет всем условиям ОДЗ.

Ответ: $(4; 4)$.