Номер 44.18, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.18, страница 182.

Решите систему уравнений:

44.18 a) $\begin{cases} \log_2 (x^2 + 3x - 2) - \log_2 y = 1, \\ 3x - y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y = 7, \\ \log_3 (x^2 + 4x - 3) - \log_3 y = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \log_2(x^2 + 3x - 2) - \log_2 y = 1, \\ 3x - y = 2; \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$$ \begin{cases} x^2 + 3x - 2 > 0, \\ y > 0. \end{cases} $$

Из второго уравнения системы выразим $y$:

$3x - y = 2 \implies y = 3x - 2$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\log_2(x^2 + 3x - 2) - \log_2(3x - 2) = 1$.

Воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:

$\log_2 \frac{x^2 + 3x - 2}{3x - 2} = 1$.

По определению логарифма:

$\frac{x^2 + 3x - 2}{3x - 2} = 2^1 = 2$.

Решим полученное уравнение:

$x^2 + 3x - 2 = 2(3x - 2)$

$x^2 + 3x - 2 = 6x - 4$

$x^2 - 3x + 2 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Следовательно, корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Для этого найдем соответствующие значения $y$ и проверим все условия.

1. Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 3x_1 - 2 = 3(1) - 2 = 1$.

Проверяем условия ОДЗ для пары $(1, 1)$:

$y_1 = 1 > 0$ (верно).

$x_1^2 + 3x_1 - 2 = 1^2 + 3(1) - 2 = 1+3-2 = 2 > 0$ (верно).

Следовательно, пара $(1, 1)$ является решением.

2. Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 3x_2 - 2 = 3(2) - 2 = 4$.

Проверяем условия ОДЗ для пары $(2, 4)$:

$y_2 = 4 > 0$ (верно).

$x_2^2 + 3x_2 - 2 = 2^2 + 3(2) - 2 = 4+6-2 = 8 > 0$ (верно).

Следовательно, пара $(2, 4)$ также является решением.

Ответ: $(1, 1)$, $(2, 4)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + y = 7, \\ \log_3(x^2 + 4x - 3) - \log_3 y = 1. \end{cases} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$$ \begin{cases} x^2 + 4x - 3 > 0, \\ y > 0. \end{cases} $$

Из первого уравнения системы выразим $y$:

$2x + y = 7 \implies y = 7 - 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\log_3(x^2 + 4x - 3) - \log_3(7 - 2x) = 1$.

Используем свойство разности логарифмов:

$\log_3 \frac{x^2 + 4x - 3}{7 - 2x} = 1$.

По определению логарифма:

$\frac{x^2 + 4x - 3}{7 - 2x} = 3^1 = 3$.

Решим полученное уравнение:

$x^2 + 4x - 3 = 3(7 - 2x)$

$x^2 + 4x - 3 = 21 - 6x$

$x^2 + 10x - 24 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 14}{2}$.

$x_1 = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Найдем соответствующие значения $y$:

1. Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 7 - 2x_1 = 7 - 2(2) = 3$.

Проверяем условия ОДЗ для пары $(2, 3)$:

$y_1 = 3 > 0$ (верно).

$x_1^2 + 4x_1 - 3 = 2^2 + 4(2) - 3 = 4+8-3 = 9 > 0$ (верно).

Следовательно, пара $(2, 3)$ является решением.

2. Для $x_2 = -12$:

$y_2 = 7 - 2x_2 = 7 - 2(-12) = 7 + 24 = 31$.

Проверяем условия ОДЗ для пары $(-12, 31)$:

$y_2 = 31 > 0$ (верно).

$x_2^2 + 4x_2 - 3 = (-12)^2 + 4(-12) - 3 = 144 - 48 - 3 = 93 > 0$ (верно).

Следовательно, пара $(-12, 31)$ также является решением.

Ответ: $(2, 3)$, $(-12, 31)$.