Номер 45.10, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.10, страница 184.

45.10 a) $\log_3 x > \log_3 72 - \log_3 8$;

б) $3\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 9 + \log_{\frac{1}{3}} 3$;

в) $\log_5 x - \log_5 35 \le \log_5 \frac{1}{7}$;

г) $4\log_{0,6} x \ge \log_{0,6} 8 + \log_{0,6} 2$.

а) Дано неравенство $\log_3 x > \log_3 72 - \log_3 8$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

2. Упростим правую часть неравенства, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_3 72 - \log_3 8 = \log_3 \frac{72}{8} = \log_3 9$.

3. Неравенство принимает вид:

$\log_3 x > \log_3 9$.

4. Основание логарифма $a=3$ больше 1 ($3 > 1$), поэтому логарифмическая функция $y = \log_3 t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Следовательно, мы можем перейти от логарифмов к их аргументам, сохранив знак неравенства:

$x > 9$.

5. Сравним полученное решение с ОДЗ. Решение $x > 9$ полностью удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: $(9; +\infty)$

б) Дано неравенство $3\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 9 + \log_{\frac{1}{3}} 3$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Преобразуем обе части неравенства, используя свойства логарифмов: $n\log_a b = \log_a b^n$ для левой части и $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$ для правой.

Левая часть: $3\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} x^3$.

Правая часть: $\log_{\frac{1}{3}} 9 + \log_{\frac{1}{3}} 3 = \log_{\frac{1}{3}} (9 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{3}} 27$.

3. Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}} x^3 < \log_{\frac{1}{3}} 27$.

4. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{3} < 1$), поэтому логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}} t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^3 > 27$.

5. Решим полученное неравенство:

$x > \sqrt[3]{27}$

$x > 3$.

6. Решение $x > 3$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(3; +\infty)$

в) Дано неравенство $\log_5 x - \log_5 35 \le \log_5 \frac{1}{7}$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Упростим левую часть, используя свойство разности логарифмов:

$\log_5 \frac{x}{35} \le \log_5 \frac{1}{7}$.

3. Основание логарифма $a=5$ больше 1, поэтому функция возрастающая. Переходим к аргументам, сохраняя знак неравенства:

$\frac{x}{35} \le \frac{1}{7}$.

4. Умножим обе части на 35, чтобы избавиться от знаменателя:

$x \le \frac{35}{7}$

$x \le 5$.

5. Объединим полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют системе:

$\begin{cases} x \le 5 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является интервал $0 < x \le 5$.

Ответ: $(0; 5]$

г) Дано неравенство $4\log_{0.6} x \ge \log_{0.6} 8 + \log_{0.6} 2$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Преобразуем обе части неравенства по свойствам логарифмов:

Левая часть: $4\log_{0.6} x = \log_{0.6} x^4$.

Правая часть: $\log_{0.6} 8 + \log_{0.6} 2 = \log_{0.6} (8 \cdot 2) = \log_{0.6} 16$.

3. Неравенство принимает вид:

$\log_{0.6} x^4 \ge \log_{0.6} 16$.

4. Основание логарифма $a=0.6$ меньше 1 ($0 < 0.6 < 1$), поэтому функция убывающая. При переходе к аргументам меняем знак неравенства на противоположный:

$x^4 \le 16$.

5. Решим это неравенство:

$x^4 - 16 \le 0$.

Разложим левую часть как разность квадратов:

$(x^2 - 4)(x^2 + 4) \le 0$.

Так как $x^2 \ge 0$, то множитель $x^2 + 4$ всегда строго положителен. Значит, мы можем разделить обе части неравенства на $x^2 + 4$, не меняя знака:

$x^2 - 4 \le 0$.

$(x-2)(x+2) \le 0$.

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $[-2; 2]$.

6. Объединим решение с ОДЗ ($x > 0$):

$\begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является полуинтервал $0 < x \le 2$.

Ответ: $(0; 2]$