Номер 45.16, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.16, страница 185.

Решите систему неравенств:

45.16 а) $ \begin{cases} \log_2(2x + 3) > \log_2(x - 2); \\ \log_6(3x - 1) \le \log_6(9x + 4); \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \log_3(6x - 1) \le \log_3(9x + 11), \\ \log_6(3 - x) > \log_6(4x - 1). \end{cases} $

a)

Решим исходную систему неравенств:

$\begin{cases} \log_2(2x + 3) > \log_2(x - 2) \\ \log_6(3x - 1) \le \log_6(9x + 4) \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\log_2(2x + 3) > \log_2(x - 2)$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому данное неравенство равносильно системе, в которой также учтена область определения логарифмов:

$\begin{cases} 2x + 3 > x - 2 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

Условие $2x + 3 > 0$ выполняется автоматически, так как из второго неравенства $x > 2$, а значит $2x + 3 > 2(2) + 3 = 7 > 0$.

Решаем систему:

$\begin{cases} x > -5 \\ x > 2 \end{cases}$

Решением этой системы является $x \in (2, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_6(3x - 1) \le \log_6(9x + 4)$.

Так как основание логарифма $6 > 1$, функция также является возрастающей. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3x - 1 \le 9x + 4 \\ 3x - 1 > 0 \end{cases}$

Условие $9x + 4 > 0$ выполняется автоматически, поскольку $9x + 4 \ge 3x - 1 > 0$.

Решаем систему:

$\begin{cases} -5 \le 6x \\ 3x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5/6 \\ x > 1/3 \end{cases}$

Решением этой системы является $x \in (1/3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x > 2 \\ x > 1/3 \end{cases}$

Пересечением данных интервалов является $x > 2$.

Ответ: $(2, +\infty)$.

---

б)

Решим исходную систему неравенств:

$\begin{cases} \log_3(6x - 1) \le \log_3(9x + 11) \\ \log_6(3 - x) > \log_6(4x - 1) \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\log_3(6x - 1) \le \log_3(9x + 11)$.

Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 6x - 1 \le 9x + 11 \\ 6x - 1 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} -12 \le 3x \\ 6x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x > 1/6 \end{cases}$

Решением этой системы является $x \in (1/6, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_6(3 - x) > \log_6(4x - 1)$.

Основание логарифма $6 > 1$, функция возрастающая. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3 - x > 4x - 1 \\ 4x - 1 > 0 \end{cases}$

Условие $3 - x > 0$ выполняется автоматически, так как $3 - x > 4x - 1 > 0$.

Решаем систему:

$\begin{cases} 4 > 5x \\ 4x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4/5 \\ x > 1/4 \end{cases}$

Решением этой системы является $x \in (1/4, 4/5)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x > 1/6 \\ 1/4 < x < 4/5 \end{cases}$

Поскольку $1/4 = 3/12$ и $1/6 = 2/12$, то $1/4 > 1/6$. Следовательно, интервал $(1/4, 4/5)$ полностью содержится в интервале $(1/6, +\infty)$. Их пересечением будет сам интервал $(1/4, 4/5)$.

Ответ: $(1/4, 4/5)$.