Номер 46.2, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.2, страница 186.

46.2 Известно, что $\log_2 3 = a$. Найдите:

а) $\log_3 2$;

б) $\log_3 \frac{1}{2}$;

в) $\log_3 4$;

г) $\log_3 \frac{1}{4}$.

а) $log_3 2$

Для нахождения $log_3 2$, зная, что $log_2 3 = a$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $log_b c = \frac{1}{log_c b}$.

Применив эту формулу, получим:

$log_3 2 = \frac{1}{log_2 3}$

Поскольку по условию $log_2 3 = a$, подставляем это значение в выражение:

$log_3 2 = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$.

б) $log_3 \frac{1}{2}$

Чтобы найти $log_3 \frac{1}{2}$, используем свойство логарифма частного или степени. Представим дробь $\frac{1}{2}$ в виде степени $2^{-1}$.

Тогда $log_3 \frac{1}{2} = log_3(2^{-1})$.

Используя свойство логарифма степени $log_b(c^p) = p \cdot log_b c$, вынесем показатель степени за знак логарифма:

$log_3(2^{-1}) = -1 \cdot log_3 2 = -log_3 2$

Из пункта а) нам известно, что $log_3 2 = \frac{1}{a}$. Подставим это значение:

$-log_3 2 = -\frac{1}{a}$

Ответ: $-\frac{1}{a}$.

в) $log_3 4$

Для нахождения $log_3 4$ представим число 4 как степень числа 2, то есть $4 = 2^2$.

Тогда выражение примет вид:

$log_3 4 = log_3(2^2)$

Воспользуемся свойством логарифма степени $log_b(c^p) = p \cdot log_b c$:

$log_3(2^2) = 2 \cdot log_3 2$

Из решения пункта а) мы знаем, что $log_3 2 = \frac{1}{a}$. Подставим это значение:

$2 \cdot log_3 2 = 2 \cdot \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$

Ответ: $\frac{2}{a}$.

г) $log_3 \frac{1}{4}$

Для вычисления $log_3 \frac{1}{4}$ можно использовать результаты предыдущих пунктов. Представим $\frac{1}{4}$ как $4^{-1}$.

$log_3 \frac{1}{4} = log_3(4^{-1}) = -1 \cdot log_3 4 = -log_3 4$

Из пункта в) известно, что $log_3 4 = \frac{2}{a}$. Следовательно:

$-log_3 4 = -\frac{2}{a}$

Также можно представить $\frac{1}{4}$ как $2^{-2}$ и использовать результат из пункта а):

$log_3 \frac{1}{4} = log_3(2^{-2}) = -2 \cdot log_3 2 = -2 \cdot \frac{1}{a} = -\frac{2}{a}$

Ответ: $-\frac{2}{a}$.