Номер 46.9, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.9, страница 187.

Вычислите:

46.9 а) $9^{\log_3 4} + \log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36;$

б) $\log_3 8 \cdot \log_2 27 - 3^{\log_9 25};$

в) $3^{4 \log_3^2} + \log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25;$

г) $10^{0,5 \lg 16} + 14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81.$

а) $9^{\log_3 4} + \log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36$
Для решения данного выражения, вычислим каждое слагаемое по отдельности.
1. Упростим первое слагаемое $9^{\log_3 4}$. Представим основание $9$ в виде степени числа $3$: $9=3^2$.
$9^{\log_3 4} = (3^2)^{\log_3 4} = 3^{2\log_3 4}$
Используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$, получаем:
$3^{2\log_3 4} = 3^{\log_3 4^2} = 3^{\log_3 16}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:
$3^{\log_3 16} = 16$.
2. Упростим второе слагаемое $\log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36$. Преобразуем оба логарифма, используя свойства логарифмов $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$ и $\log_a b^k = k\log_a b$:
$\log_{\sqrt{6}} 3 = \log_{6^{1/2}} 3 = \frac{1}{1/2}\log_6 3 = 2\log_6 3$
$\log_3 36 = \log_3 6^2 = 2\log_3 6$
Теперь перемножим полученные выражения:
$(2\log_6 3) \cdot (2\log_3 6) = 4 \cdot (\log_6 3 \cdot \log_3 6)$
Используя свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$, получаем:
$4 \cdot 1 = 4$.
3. Сложим полученные результаты:
$16 + 4 = 20$.
Ответ: 20.

б) $\log_3 8 \cdot \log_2 27 - 3^{\log_9 25}$
Решим по частям.
1. Вычислим произведение $\log_3 8 \cdot \log_2 27$. Представим $8$ как $2^3$ и $27$ как $3^3$:
$\log_3 8 = \log_3 2^3 = 3\log_3 2$
$\log_2 27 = \log_2 3^3 = 3\log_2 3$
Их произведение:
$(3\log_3 2) \cdot (3\log_2 3) = 9 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_2 3)$
По свойству $\log_a b \cdot \log_b a = 1$:
$9 \cdot 1 = 9$.
2. Упростим вычитаемое $3^{\log_9 25}$. Преобразуем логарифм в показателе степени, используя свойство $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:
$\log_9 25 = \log_{3^2} 5^2 = \frac{2}{2}\log_3 5 = \log_3 5$
Подставим это в выражение:
$3^{\log_9 25} = 3^{\log_3 5}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 5} = 5$.
3. Вычислим разность:
$9 - 5 = 4$.
Ответ: 4.

в) $3^{4 \log_3^2} + \log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25$
Запись первого слагаемого $3^{4 \log_3^2}$ является неоднозначной и, скорее всего, содержит опечатку. Наиболее вероятный вариант исходного выражения — $3^{4\log_3 2}$. Решим задачу при этом условии.
1. Упростим первое слагаемое $3^{4\log_3 2}$.
$3^{4\log_3 2} = 3^{\log_3 2^4} = 3^{\log_3 16}$
По основному логарифмическому тождеству, $3^{\log_3 16} = 16$.
2. Упростим второе слагаемое $\log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25$.
Преобразуем множители:
$\log_5 \sqrt{2} = \log_5 2^{1/2} = \frac{1}{2}\log_5 2$
$\log_4 25 = \log_{2^2} 5^2 = \frac{2}{2}\log_2 5 = \log_2 5$
Перемножим их:
$(\frac{1}{2}\log_5 2) \cdot (\log_2 5) = \frac{1}{2} \cdot (\log_5 2 \cdot \log_2 5) = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$.
3. Сложим результаты:
$16 + 0,5 = 16,5$.
Ответ: 16,5.

г) $10^{0,5 \lg 16} + 14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81$
Вычислим каждое слагаемое отдельно.
1. Упростим $10^{0,5 \lg 16}$. Запись $\lg$ означает логарифм по основанию 10.
$10^{0,5 \lg 16} = 10^{0,5 \log_{10} 16} = 10^{\log_{10} 16^{0,5}}$
Так как $16^{0,5} = \sqrt{16} = 4$, получаем:
$10^{\log_{10} 4} = 4$.
2. Упростим второе слагаемое $14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81$.
Преобразуем логарифмы:
$\log_3 \sqrt{2} = \log_3 2^{1/2} = \frac{1}{2}\log_3 2$
$\log_4 81 = \log_{2^2} 3^4 = \frac{4}{2}\log_2 3 = 2\log_2 3$
Теперь вычислим все произведение:
$14 \cdot (\frac{1}{2}\log_3 2) \cdot (2\log_2 3) = 14 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_2 3)$
$14 \cdot 1 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_2 3) = 14 \cdot 1 = 14$.
3. Сложим полученные значения:
$4 + 14 = 18$.
Ответ: 18.