Номер 46.14, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.14, страница 187.

46.14 a) $\log_4(x + 12) \cdot \log_x 2 = 1;$

б) $1 + \log_x 5 \cdot \log_7 x = \log_5 35 \cdot \log_x 5.$

a) Исходное уравнение: $\log_4(x + 12) \cdot \log_x 2 = 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным, а основание — положительным и не равным единице.

$\begin{cases} x + 12 > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1\end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > -12$. Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Для решения уравнения воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

Преобразуем множители в левой части уравнения, перейдя к основанию 2:

$\log_4(x + 12) = \frac{\log_2(x + 12)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(x + 12)}{2}$

$\log_x 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 x} = \frac{1}{\log_2 x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\frac{\log_2(x + 12)}{2} \cdot \frac{1}{\log_2 x} = 1$

Умножим обе части на $2 \log_2 x$ (с учетом ОДЗ, $\log_2 x \neq 0$, так как $x \neq 1$):

$\log_2(x + 12) = 2 \log_2 x$

Используя свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$, получаем:

$\log_2(x + 12) = \log_2(x^2)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$x + 12 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$). Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условиям ОДЗ, так как $4 > 0$ и $4 \neq 1$. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним корнем.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=4$.

Ответ: $4$.

б) Исходное уравнение: $1 + \log_x 5 \cdot \log_7 x = \log_5 35 \cdot \log_x 5$.

ОДЗ определяется условиями на основание и аргумент логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Упростим некоторые части уравнения, используя свойства логарифмов. Воспользуемся формулой $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ (формула перехода к новому основанию, записанная в виде произведения).

Рассмотрим произведение $\log_x 5 \cdot \log_7 x$. Поменяв множители местами, получаем $\log_7 x \cdot \log_x 5 = \log_7 5$.

Теперь преобразуем логарифм в правой части: $\log_5 35 = \log_5 (5 \cdot 7) = \log_5 5 + \log_5 7 = 1 + \log_5 7$.

Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$1 + \log_7 5 = (1 + \log_5 7) \cdot \log_x 5$

Раскроем скобки в правой части:

$1 + \log_7 5 = 1 \cdot \log_x 5 + \log_5 7 \cdot \log_x 5$

$1 + \log_7 5 = \log_x 5 + \log_5 7 \cdot \log_x 5$

Снова применим формулу $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ к последнему слагаемому в правой части: $\log_5 7 \cdot \log_x 5 = \log_x 5 \cdot \log_5 7 = \log_x 7$.

Уравнение принимает вид:

$1 + \log_7 5 = \log_x 5 + \log_x 7$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$1 + \log_7 5 = \log_x (5 \cdot 7)$

$1 + \log_7 5 = \log_x 35$

Представим 1 в левой части как логарифм по основанию 7: $1 = \log_7 7$.

$\log_7 7 + \log_7 5 = \log_x 35$

$\log_7 (7 \cdot 5) = \log_x 35$

$\log_7 35 = \log_x 35$

Из этого равенства следует, что основания логарифмов должны быть равны (поскольку их аргументы равны и не равны 1).

$x = 7$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$). Корень $x=7$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $7$.