Номер 47.3, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.3, страница 188.

Найдите значение производной заданной функции в указанной точке $x_0$:

47.3 а) $y = e^x + x^2$, $x_0 = 0$;

б) $y = e^x (x + 1)$, $x_0 = -1$;

в) $y = e^x - x$, $x_0 = 1$;

г) $y = \frac{e^x}{x+1}$, $x_0 = 0$.

а) Дана функция $y = e^x + x^2$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения значения производной в точке, сначала найдем производную функции $y'(x)$. Функция является суммой двух функций, поэтому ее производная равна сумме производных: $y' = (e^x + x^2)' = (e^x)' + (x^2)'$.

Используем известные правила дифференцирования: производная экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$, а производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Таким образом, $(x^2)' = 2x$.

Получаем производную: $y' = e^x + 2x$.

Теперь подставим значение $x_0 = 0$ в выражение для производной: $y'(0) = e^0 + 2 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$.

Ответ: 1

б) Дана функция $y = e^x (x + 1)$ и точка $x_0 = -1$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения двух функций $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x + 1$. Тогда их производные: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x+1)' = 1$.

Подставляем в формулу производной произведения: $y' = (e^x)'(x+1) + e^x(x+1)' = e^x(x+1) + e^x \cdot 1$.

Упростим выражение: $y' = e^x(x+1+1) = e^x(x+2)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$: $y'(-1) = e^{-1}(-1 + 2) = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

Ответ: $\frac{1}{e}$

в) Дана функция $y = e^x - x$ и точка $x_0 = 1$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$. $y' = (e^x - x)' = (e^x)' - (x)'$.

Производная $(e^x)' = e^x$ и производная $(x)'=1$. Следовательно, $y' = e^x - 1$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $y'(1) = e^1 - 1 = e - 1$.

Ответ: $e - 1$

г) Дана функция $y = \frac{e^x}{x+1}$ и точка $x_0 = 0$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x + 1$. Их производные: $u'(x) = e^x$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу: $y' = \frac{(e^x)'(x+1) - e^x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{e^x(x+1) - e^x \cdot 1}{(x+1)^2}$.

Упростим выражение в числителе: $y' = \frac{e^x(x+1-1)}{(x+1)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $y'(0) = \frac{0 \cdot e^0}{(0+1)^2} = \frac{0 \cdot 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: 0