Номер 47.10, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.10, страница 189.

Напишите уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$:

47.10 а) $y=e^x, a=1;$

б) $y=e^x, a=2;$

в) $y=e^x, a=0;$

г) $y=e^x, a=-1.$

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ имеет вид:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Для всех пунктов задачи дана функция $f(x) = e^x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (e^x)' = e^x$.

a) $y = e^x$, $a = 1$

1. Найдем значение функции в точке касания $a=1$:

$f(1) = e^1 = e$.

2. Найдем значение производной в этой же точке, которое является угловым коэффициентом касательной:

$f'(1) = e^1 = e$.

3. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=e$ и $f'(1)=e$ в общее уравнение касательной:

$y = e + e(x - 1)$

4. Упростим полученное уравнение:

$y = e + ex - e$

$y = ex$

Ответ: $y = ex$.

б) $y = e^x$, $a = 2$

1. Найдем значение функции в точке касания $a=2$:

$f(2) = e^2$.

2. Найдем значение производной в точке $a=2$:

$f'(2) = e^2$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = e^2 + e^2(x - 2)$

4. Упростим уравнение:

$y = e^2 + e^2x - 2e^2$

$y = e^2x - e^2$

Ответ: $y = e^2x - e^2$.

в) $y = e^x$, $a = 0$

1. Найдем значение функции в точке касания $a=0$:

$f(0) = e^0 = 1$.

2. Найдем значение производной в точке $a=0$:

$f'(0) = e^0 = 1$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 1(x - 0)$

4. Упростим уравнение:

$y = 1 + x$

Ответ: $y = x + 1$.

г) $y = e^x$, $a = -1$

1. Найдем значение функции в точке касания $a=-1$:

$f(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

2. Найдем значение производной в точке $a=-1$:

$f'(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}(x - (-1))$

$y = \frac{1}{e} + \frac{1}{e}(x + 1)$

4. Упростим уравнение:

$y = \frac{1}{e} + \frac{x}{e} + \frac{1}{e}$

$y = \frac{x + 2}{e}$

Ответ: $y = \frac{x+2}{e}$.