Номер 47.12, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.12, страница 189.

47.12 Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y = x^2e^x$;

б) $y = xe^{2x - 4}$;

в) $y = x^3e^x$;

г) $y = \frac{e^x}{x}$.

а) $y = x^2e^x$

1. Найдём область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^2e^x)' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x)$.

3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$xe^x(2+x) = 0$.

Поскольку $e^x > 0$ для любого $x$, то $x(2+x) = 0$.

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах.

Критические точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -2)$, например при $x = -3$, $y'(-3) = -3e^{-3}(2-3) = 3e^{-3} > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(-2, 0)$, например при $x = -1$, $y'(-1) = -1e^{-1}(2-1) = -e^{-1} < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0, +\infty)$, например при $x = 1$, $y'(1) = 1e^{1}(2+1) = 3e > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2)^2e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0^2e^0 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $[-2, 0]$; точка максимума $x_{max} = -2$, точка минимума $x_{min} = 0$.

б) $y = xe^{2x-4}$

1. Найдём область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (xe^{2x-4})' = (x)'e^{2x-4} + x(e^{2x-4})' = 1 \cdot e^{2x-4} + x \cdot e^{2x-4} \cdot (2x-4)' = e^{2x-4} + 2xe^{2x-4} = e^{2x-4}(1+2x)$.

3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$e^{2x-4}(1+2x) = 0$.

Поскольку $e^{2x-4} > 0$ для любого $x$, то $1+2x = 0$.

Отсюда получаем критическую точку: $x = -0.5$.

4. Исследуем знак производной на интервалах.

Критическая точка разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty, -0.5)$ и $(-0.5, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -0.5)$, например при $x = -1$, $y'(-1) = e^{-6}(1-2) = -e^{-6} < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-0.5, +\infty)$, например при $x = 0$, $y'(0) = e^{-4}(1+0) = e^{-4} > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

В точке $x = -0.5$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(-0.5) = -0.5 \cdot e^{2(-0.5)-4} = -0.5e^{-1-4} = -0.5e^{-5} = -\frac{1}{2e^5}$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -0.5]$, возрастает на промежутке $[-0.5, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = -0.5$.

в) $y = x^3e^x$

1. Найдём область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^3e^x)' = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' = 3x^2e^x + x^3e^x = x^2e^x(3+x)$.

3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$x^2e^x(3+x) = 0$.

Поскольку $e^x > 0$ для любого $x$, то $x^2(3+x) = 0$.

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах.

Критические точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$ и $(0, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -3)$, например при $x = -4$, $y'(-4) = (-4)^2e^{-4}(3-4) = 16e^{-4}(-1) < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-3, 0)$, например при $x = -1$, $y'(-1) = (-1)^2e^{-1}(3-1) = 2e^{-1} > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(0, +\infty)$, например при $x = 1$, $y'(1) = 1^2e^1(3+1) = 4e > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

В точке $x = -3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(-3) = (-3)^3e^{-3} = -27e^{-3} = -\frac{27}{e^3}$.

В точке $x = 0$ производная не меняет знак, значит, это не точка экстремума (а точка перегиба).

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -3]$, возрастает на промежутке $[-3, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = -3$.

г) $y = \frac{e^x}{x}$

1. Найдём область определения функции.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{e^x}{x}\right)' = \frac{(e^x)'x - e^x(x)'}{x^2} = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$.

3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{e^x(x-1)}{x^2} = 0$.

Поскольку $e^x > 0$ и $x^2 > 0$ в области определения, то $x-1 = 0$.

Отсюда получаем критическую точку: $x = 1$.

Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах.

Точки $x=0$ (разрыв) и $x=1$ (критическая точка) разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, 0)$, например при $x = -1$, $y'(-1) = \frac{e^{-1}(-1-1)}{(-1)^2} = -2e^{-1} < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0, 1)$, например при $x = 0.5$, $y'(0.5) = \frac{e^{0.5}(0.5-1)}{(0.5)^2} < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(1, +\infty)$, например при $x = 2$, $y'(2) = \frac{e^2(2-1)}{2^2} = \frac{e^2}{4} > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(1) = \frac{e^1}{1} = e$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, 1]$, возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 1$.