Номер 47.18, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.18, страница 190.

47.18 a) $y = \ln (2x + 2)$, $x_0 = -\frac{1}{4}$;

б) $y = \ln (5 - 2x)$, $x = 2$.

а) Предположим, что задача состоит в нахождении уравнения касательной к графику функции в заданной точке. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для функции $f(x) = \ln(2x + 2)$ и точки $x_0 = -\frac{1}{4}$ выполним следующие шаги:

1. Найдём значение функции в точке $x_0$:

$f(-\frac{1}{4}) = \ln(2 \cdot (-\frac{1}{4}) + 2) = \ln(-\frac{1}{2} + 2) = \ln(\frac{3}{2})$.

2. Найдём производную функции $f(x)$, используя правило производной сложной функции:

$f'(x) = (\ln(2x + 2))' = \frac{1}{2x + 2} \cdot (2x + 2)' = \frac{1}{2x + 2} \cdot 2 = \frac{2}{2(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0$, которое является угловым коэффициентом касательной:

$f'(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{-\frac{1}{4} + 1} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = \ln(\frac{3}{2})$ и $f'(x_0) = \frac{4}{3}$ в уравнение касательной и упростим его:

$y = \ln(\frac{3}{2}) + \frac{4}{3}(x - (-\frac{1}{4}))$

$y = \ln(\frac{3}{2}) + \frac{4}{3}(x + \frac{1}{4})$

$y = \ln(\frac{3}{2}) + \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} + \ln(\frac{3}{2})$

Ответ: $y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} + \ln(\frac{3}{2})$.

б) Аналогично найдём уравнение касательной для функции $f(x) = \ln(5 - 2x)$ в точке $x_0 = 2$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0$:

$f(2) = \ln(5 - 2 \cdot 2) = \ln(5 - 4) = \ln(1) = 0$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\ln(5 - 2x))' = \frac{1}{5 - 2x} \cdot (5 - 2x)' = \frac{1}{5 - 2x} \cdot (-2) = -\frac{2}{5 - 2x}$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0$:

$f'(2) = -\frac{2}{5 - 2 \cdot 2} = -\frac{2}{5 - 4} = -\frac{2}{1} = -2$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = -2$ в уравнение касательной:

$y = 0 + (-2)(x - 2)$

$y = -2(x - 2)$

$y = -2x + 4$

Ответ: $y = -2x + 4$.