Номер 47.24, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.24, страница 190.

47.24 Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

a) $y = x + \ln(-x)$, $[-4, -0,5];$

б) $y = x + e^{-x}$, $[-\ln 4, \ln 2].$

а) $y = x + \ln(-x)$, на отрезке $[-4, -0,5]$

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
3. Проверить, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в найденных критических точках (принадлежащих отрезку) и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

1. Найдем производную функции $y = x + \ln(-x)$. Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции для $\ln(-x)$:

$y' = (x)' + (\ln(-x))' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = 1 + \frac{1}{-x} \cdot (-1) = 1 + \frac{1}{x}$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies 1 + \frac{1}{x} = 0$

$\frac{1}{x} = -1$

$x = -1$

3. Критическая точка $x = -1$. Проверим, принадлежит ли она отрезку $[-4, -0,5]$. Так как $-4 \le -1 \le -0,5$, точка принадлежит отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x = -1$ и на концах отрезка $x = -4$ и $x = -0,5$:

$y(-4) = -4 + \ln(-(-4)) = -4 + \ln(4)$

$y(-1) = -1 + \ln(-(-1)) = -1 + \ln(1) = -1 + 0 = -1$

$y(-0,5) = -0,5 + \ln(-(-0,5)) = -0,5 + \ln(0,5) = -0,5 + \ln(2^{-1}) = -0,5 - \ln(2)$

5. Сравним полученные значения: $-4 + \ln(4)$, $-1$, $-0,5 - \ln(2)$.

Чтобы сравнить их, можно использовать приближенные значения: $\ln(2) \approx 0.693$, $\ln(4) = 2\ln(2) \approx 1.386$.

$y(-4) = -4 + \ln(4) \approx -4 + 1.386 = -2.614$

$y(-1) = -1$

$y(-0,5) = -0,5 - \ln(2) \approx -0,5 - 0.693 = -1.193$

Сравнивая значения, получаем: $-2.614 < -1.193 < -1$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке — это $y(-4) = -4 + \ln(4)$, а наибольшее — это $y(-1) = -1$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -4 + \ln(4)$, наибольшее значение $y_{max} = -1$.

б) $y = x + e^{-x}$, на отрезке $[-\ln 4, \ln 2]$

Применим тот же алгоритм.

1. Найдем производную функции $y = x + e^{-x}$:

$y' = (x)' + (e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-x)' = 1 - e^{-x}$.

2. Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$1 - e^{-x} = 0$

$e^{-x} = 1$

Так как $e^0 = 1$, то $-x = 0$, откуда $x = 0$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x = 0$ отрезку $[-\ln 4, \ln 2]$.

Поскольку $4 > 1$, то $\ln 4 > 0$, а значит $-\ln 4 < 0$. Поскольку $2 > 1$, то $\ln 2 > 0$. Таким образом, $-\ln 4 \le 0 \le \ln 2$, и точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x = 0$ и на концах отрезка $x = -\ln 4$ и $x = \ln 2$:

$y(-\ln 4) = -\ln 4 + e^{-(-\ln 4)} = -\ln 4 + e^{\ln 4} = 4 - \ln 4$

$y(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1$

$y(\ln 2) = \ln 2 + e^{-\ln 2} = \ln 2 + e^{\ln(2^{-1})} = \ln 2 + 2^{-1} = \ln 2 + \frac{1}{2}$

5. Сравним полученные значения: $4 - \ln 4$, $1$, $\ln 2 + \frac{1}{2}$.

Используем приближенные значения: $\ln(2) \approx 0.693$, $\ln(4) \approx 1.386$.

$y(-\ln 4) = 4 - \ln 4 \approx 4 - 1.386 = 2.614$

$y(0) = 1$

$y(\ln 2) = \ln 2 + 0.5 \approx 0.693 + 0.5 = 1.193$

Сравнивая значения, получаем: $1 < 1.193 < 2.614$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке — это $y(0) = 1$, а наибольшее — это $y(-\ln 4) = 4 - \ln 4$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 1$, наибольшее значение $y_{max} = 4 - \ln 4$.