Номер 47.27, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.27, страница 191.

47.27 При каком значении параметра $a$:

а) прямая $y = 3x - 4 + a$ является касательной к графику функции $y = \ln(3x - 4)$;

б) прямая $y = 2x + 3 + a$ является касательной к графику функции $y = \ln(2x + 3)$?

а)

Условие касания прямой $y = kx + b$ и графика функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ заключается в выполнении двух условий:
1. Угловые коэффициенты прямой и касательной к графику функции в этой точке равны: $f'(x_0) = k$.
2. Значения y в точке касания совпадают: $f(x_0) = kx_0 + b$.

В данном случае tenemos прямую $y = 3x - 4 + a$ и функцию $f(x) = \ln(3x - 4)$.
Угловой коэффициент прямой $k = 3$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\ln(3x - 4))' = \frac{1}{3x - 4} \cdot (3x - 4)' = \frac{3}{3x - 4}$.

Применим первое условие, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$f'(x_0) = 3$
$\frac{3}{3x_0 - 4} = 3$
Поскольку $3 \neq 0$, мы можем разделить обе части на 3:
$\frac{1}{3x_0 - 4} = 1$
$3x_0 - 4 = 1$
$3x_0 = 5$
$x_0 = \frac{5}{3}$

Теперь применим второе условие, подставив $x_0 = \frac{5}{3}$ в уравнения прямой и функции:
$f(x_0) = 3x_0 - 4 + a$
$\ln(3x_0 - 4) = 3x_0 - 4 + a$
$\ln(3 \cdot \frac{5}{3} - 4) = 3 \cdot \frac{5}{3} - 4 + a$
$\ln(5 - 4) = 5 - 4 + a$
$\ln(1) = 1 + a$
$0 = 1 + a$
$a = -1$

Ответ: $a = -1$.

б)

Аналогично решаем для прямой $y = 2x + 3 + a$ и функции $f(x) = \ln(2x + 3)$.
Угловой коэффициент прямой $k = 2$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\ln(2x + 3))' = \frac{1}{2x + 3} \cdot (2x + 3)' = \frac{2}{2x + 3}$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв производную к угловому коэффициенту:
$f'(x_0) = 2$
$\frac{2}{2x_0 + 3} = 2$
$\frac{1}{2x_0 + 3} = 1$
$2x_0 + 3 = 1$
$2x_0 = -2$
$x_0 = -1$

Теперь используем условие равенства значений функций в точке $x_0 = -1$:
$f(x_0) = 2x_0 + 3 + a$
$\ln(2x_0 + 3) = 2x_0 + 3 + a$
$\ln(2 \cdot (-1) + 3) = 2 \cdot (-1) + 3 + a$
$\ln(-2 + 3) = -2 + 3 + a$
$\ln(1) = 1 + a$
$0 = 1 + a$
$a = -1$

Ответ: $a = -1$.