Номер 48.5, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.5, страница 192.

48.5 а) $f(x) = x^2 + x^{16};$

Б) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2};$

В) $f(x) = x^{13} + x^{18};$

Г) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1.$

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x^2 + x^{16}$ воспользуемся правилом нахождения первообразной для степенной функции и суммы функций. Общая формула для первообразной степенной функции $x^n$ имеет вид $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Первообразная для первого слагаемого $x^2$ находится по формуле, где $n=2$:$F_1(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.

Первообразная для второго слагаемого $x^{16}$ находится по формуле, где $n=16$:$F_2(x) = \frac{x^{16+1}}{16+1} = \frac{x^{17}}{17}$.

Первообразная для суммы функций равна сумме их первообразных. Следовательно, общая первообразная для функции $f(x)$ есть сумма первообразных ее слагаемых плюс произвольная постоянная $C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{17}}{17} + C$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$. Для нахождения первообразной представим каждое слагаемое в виде степенной функции.

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2}$

$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$

Таким образом, $f(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} - x^{-2}$.

Находим первообразную для первого слагаемого $\frac{1}{2}x^{-1/2}$, используя формулу $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ для $n = -1/2$:$F_1(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = x^{1/2} = \sqrt{x}$.

Находим первообразную для второго слагаемого $-x^{-2}$, используя формулу для $n = -2$:$F_2(x) = - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = - \frac{x^{-1}}{-1} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Общая первообразная является суммой найденных первообразных плюс произвольная постоянная $C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + C$.

в) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x^{13} + x^{18}$ воспользуемся тем же правилом, что и в пункте а).

Первообразная для первого слагаемого $x^{13}$ находится по формуле, где $n=13$:$F_1(x) = \frac{x^{13+1}}{13+1} = \frac{x^{14}}{14}$.

Первообразная для второго слагаемого $x^{18}$ находится по формуле, где $n=18$:$F_2(x) = \frac{x^{18+1}}{18+1} = \frac{x^{19}}{19}$.

Складываем полученные первообразные и добавляем произвольную постоянную $C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^{14}}{14} + \frac{x^{19}}{19} + C$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$. Представим ее в виде суммы степенных функций.

$f(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 1$.

Находим первообразную для первого слагаемого, как мы это делали в пункте б):$F_1(x) = \sqrt{x}$.

Находим первообразную для второго слагаемого (константы 1):$F_2(x) = \int 1 \,dx = x$.

Суммируем полученные результаты и добавляем произвольную постоянную $C$, чтобы получить общую первообразную.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + x + C$.