Номер 48.12, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.12, страница 193.

48.12 Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку M:

а) $y = \sin x, M\left(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4}\right)$

в) $y = \cos x, M\left(\frac{\pi}{6}; 1\right)$

б) $y = \frac{1}{\cos^2 x}, M\left(\frac{\pi}{4}; -1\right)$

г) $y = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{3}}, M\left(\frac{3\pi}{4}; 0\right)$

а)

Для функции $y = \sin x$ и точки $M(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4})$.

1. Общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x$ находится путем интегрирования: $F(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Чтобы найти значение постоянной $C$, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4})$. Это означает, что при $x = \frac{\pi}{3}$, значение первообразной $F(x)$ равно $\frac{1}{4}$.

Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) + C = \frac{1}{4}$.

3. Известно, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$-\frac{1}{2} + C = \frac{1}{4}$.

Решим уравнение относительно $C$:

$C = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$.

4. Искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -\cos x + \frac{3}{4}$.

Ответ: $F(x) = -\cos x + \frac{3}{4}$

б)

Для функции $y = \frac{1}{\cos^2 x}$ и точки $M(\frac{\pi}{4}; -1)$.

1. Общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ это $F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = \tan x + C$.

2. График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; -1)$, поэтому $F(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Подставляем значения в уравнение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) + C = -1$.

3. Известно, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставим это значение:

$1 + C = -1$.

Отсюда находим $C$:

$C = -1 - 1 = -2$.

4. Искомая первообразная:

$F(x) = \tan x - 2$.

Ответ: $F(x) = \tan x - 2$

в)

Для функции $y = \cos x$ и точки $M(\frac{\pi}{6}; 1)$.

1. Общий вид первообразной для функции $f(x) = \cos x$ это $F(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.

2. График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{6}; 1)$, поэтому $F(\frac{\pi}{6}) = 1$.

Подставляем значения в уравнение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) + C = 1$.

3. Известно, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение:

$\frac{1}{2} + C = 1$.

Отсюда находим $C$:

$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

4. Искомая первообразная:

$F(x) = \sin x + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = \sin x + \frac{1}{2}$

г)

Для функции $y = \frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})}$ и точки $M(\frac{3\pi}{4}; 0)$.

1. Для нахождения первообразной используем формулу для сложной функции $\int f(kx+b)dx = \frac{1}{k}F(kx+b)+C$. Здесь $f(u) = \frac{1}{\sin^2 u}$, первообразная для которой $F(u) = -\cot u$. Аргумент $u = \frac{x}{3}$, значит коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Общий вид первообразной: $F(x) = \frac{1}{1/3} \cdot (-\cot(\frac{x}{3})) + C = -3\cot(\frac{x}{3}) + C$.

2. График первообразной проходит через точку $M(\frac{3\pi}{4}; 0)$, поэтому $F(\frac{3\pi}{4}) = 0$.

Подставляем значения в уравнение для $F(x)$:

$F(\frac{3\pi}{4}) = -3\cot(\frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{4}) + C = 0$.

$-3\cot(\frac{\pi}{4}) + C = 0$.

3. Известно, что $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставим это значение:

$-3 \cdot 1 + C = 0$.

Отсюда находим $C$:

$C = 3$.

4. Искомая первообразная:

$F(x) = -3\cot(\frac{x}{3}) + 3$.

Ответ: $F(x) = -3\cot(\frac{x}{3}) + 3$