Номер 48.16, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.16, страница 194.

48.16 Ускорение движения точки по координатной прямой задано формулой $a(t) = 2(t + 1)^2$, $t$ — время движения. Найдите закон изменения скорости $v = v(t)$ и закон движения $s = s(t)$, если $v(0) = 1$, $s(0) = 1$.

Найдите закон изменения скорости $v=v(t)$

Скорость $v(t)$ является первообразной для функции ускорения $a(t)$, то есть $v(t) = \int a(t) dt$.

Нам дана функция ускорения $a(t) = 2(t + 1)^2$. Найдем ее интеграл:

$v(t) = \int 2(t + 1)^2 dt$

Для вычисления интеграла вынесем константу 2 за знак интеграла и используем метод подстановки, где $u = t+1$ и $du = dt$. Или, что эквивалентно, внесем под знак дифференциала $(t+1)$:

$v(t) = 2 \int (t + 1)^2 d(t+1) = 2 \cdot \frac{(t+1)^3}{3} + C_1 = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + C_1$

где $C_1$ — константа интегрирования.

Чтобы найти значение $C_1$, используем начальное условие $v(0) = 1$. Подставим $t=0$ в полученное выражение для скорости:

$v(0) = \frac{2}{3}(0 + 1)^3 + C_1 = 1$

$\frac{2}{3} \cdot 1^3 + C_1 = 1$

$\frac{2}{3} + C_1 = 1$

$C_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Подставим найденное значение $C_1$ в формулу для скорости, чтобы получить закон изменения скорости:

$v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$

Ответ: $v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$

Найдите закон движения $s = s(t)$

Закон движения $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$, то есть $s(t) = \int v(t) dt$.

Используем найденную на предыдущем шаге функцию скорости $v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$. Найдем ее интеграл:

$s(t) = \int \left( \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3} \right) dt = \int \frac{2}{3}(t + 1)^3 dt + \int \frac{1}{3} dt$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

$\int \frac{2}{3}(t + 1)^3 dt = \frac{2}{3} \int (t+1)^3 d(t+1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{(t+1)^4}{4} = \frac{1}{6}(t+1)^4$

$\int \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3}t$

Суммируя результаты и добавляя константу интегрирования $C_2$, получаем:

$s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + C_2$

Чтобы найти значение $C_2$, используем начальное условие $s(0) = 1$. Подставим $t=0$ в полученное выражение для закона движения:

$s(0) = \frac{1}{6}(0 + 1)^4 + \frac{1}{3} \cdot 0 + C_2 = 1$

$\frac{1}{6} \cdot 1^4 + 0 + C_2 = 1$

$\frac{1}{6} + C_2 = 1$

$C_2 = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Подставим найденное значение $C_2$ в формулу для закона движения:

$s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + \frac{5}{6}$

Ответ: $s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + \frac{5}{6}$