Номер 48.10, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.10, страница 193.

48.10 а) $f(x) = -\frac{1}{(6x+1)^2};$

б) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x-9}};$

В) $f(x) = \frac{1}{(7x-3)^2};$

Г) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{42-3x}}.$

Для решения данных задач необходимо найти первообразную для каждой из функций. Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ записывается как $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Для нахождения первообразной будем использовать правило интегрирования степенной функции со сложным аргументом вида $kx+b$:

$\int (kx+b)^n \,dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$

а) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = -\frac{1}{(6x+1)^2}$.

Сначала представим функцию в виде степенной: $f(x) = -(6x+1)^{-2}$.

Теперь найдем неопределенный интеграл от этой функции:

$F(x) = \int -(6x+1)^{-2} \,dx = -\int (6x+1)^{-2} \,dx$

Применяя формулу для $k=6$, $b=1$ и $n=-2$, получаем:

$F(x) = - \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x+1)^{-2+1}}{-2+1} \right) + C = - \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x+1)^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{6}(6x+1)^{-1} + C = \frac{1}{6(6x+1)} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{6(6x+1)} + C$

б) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x-9}}$.

Представим функцию в виде степенной: $f(x) = (7x-9)^{-1/2}$.

Найдем неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (7x-9)^{-1/2} \,dx$

Применяя формулу для $k=7$, $b=-9$ и $n=-1/2$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-9)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-9)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{7}(7x-9)^{1/2} + C = \frac{2}{7}\sqrt{7x-9} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{7}\sqrt{7x-9} + C$

в) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = \frac{1}{(7x-3)^2}$.

Представим функцию в виде степенной: $f(x) = (7x-3)^{-2}$.

Найдем неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (7x-3)^{-2} \,dx$

Применяя формулу для $k=7$, $b=-3$ и $n=-2$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-3)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{7}(7x-3)^{-1} + C = -\frac{1}{7(7x-3)} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{7(7x-3)} + C$

г) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{42-3x}}$.

Представим функцию в виде степенной: $f(x) = (42-3x)^{-1/2}$.

Найдем неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (42-3x)^{-1/2} \,dx$

Применяя формулу для $k=-3$, $b=42$ и $n=-1/2$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(42-3x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(42-3x)^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{2}{3}(42-3x)^{1/2} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{42-3x} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{42-3x} + C$