Номер 48.6, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.6, страница 193.

48.6 a) $f(x) = 4x^3 - 6x^2;$

б) $f(x) = -3\sin x + 2\cos x;$

В) $f(x) = 5x^4 - 3x^5;$

Г) $f(x) = -13\sin x + \frac{5}{\cos^2 x}.$

Задача состоит в нахождении общего вида первообразных для заданных функций. Общий вид первообразной для функции $f(x)$ обозначается как $F(x) + C$, где $F'(x) = f(x)$ и $C$ — произвольная постоянная.

a)

Дана функция $f(x) = 4x^3 - 6x^2$.

Для нахождения первообразной $F(x)$ нужно проинтегрировать функцию $f(x)$. Используем правило интегрирования суммы (разности) и правило для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

$F(x) = \int (4x^3 - 6x^2) dx = \int 4x^3 dx - \int 6x^2 dx$

Выносим постоянные множители за знак интеграла:

$F(x) = 4 \int x^3 dx - 6 \int x^2 dx$

Применяем формулу для степенной функции:

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^3}{3} + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = x^4 - 2x^3 + C$

Ответ: $F(x) = x^4 - 2x^3 + C$.

б)

Дана функция $f(x) = -3\sin x + 2\cos x$.

Для нахождения первообразной $F(x)$ интегрируем функцию $f(x)$, используя табличные интегралы для тригонометрических функций: $\int \sin x dx = -\cos x$ и $\int \cos x dx = \sin x$.

$F(x) = \int (-3\sin x + 2\cos x) dx = -3 \int \sin x dx + 2 \int \cos x dx$

Подставляем табличные значения первообразных:

$F(x) = -3(-\cos x) + 2(\sin x) + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = 3\cos x + 2\sin x + C$

Ответ: $F(x) = 3\cos x + 2\sin x + C$.

в)

Дана функция $f(x) = 5x^4 - 3x^5$.

Аналогично пункту а), находим первообразную, используя правило для степенной функции.

$F(x) = \int (5x^4 - 3x^5) dx = 5 \int x^4 dx - 3 \int x^5 dx$

Применяем формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^6}{6} + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = x^5 - \frac{1}{2}x^6 + C$

Ответ: $F(x) = x^5 - \frac{1}{2}x^6 + C$.

г)

Дана функция $f(x) = -13\sin x + \frac{5}{\cos^2 x}$.

Для нахождения первообразной $F(x)$ используем табличные интегралы: $\int \sin x dx = -\cos x$ и $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$.

$F(x) = \int (-13\sin x + \frac{5}{\cos^2 x}) dx = -13 \int \sin x dx + 5 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

Подставляем табличные значения первообразных:

$F(x) = -13(-\cos x) + 5(\tan x) + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = 13\cos x + 5\tan x + C$

Ответ: $F(x) = 13\cos x + 5\tan x + C$.