Номер 48.4, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.4, страница 192.

48.4 a) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

б) $f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Первообразная $F(x)$ — это функция, производная которой равна данной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Для нахождения первообразной нужно вычислить неопределенный интеграл.

1. Перепишем функцию в степенном виде. Корень из $x$ это $x$ в степени $1/2$:
$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

2. Найдем интеграл, используя табличную формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная. В данном случае $n = -1/2$.
$F(x) = \int \frac{1}{2}x^{-1/2} dx = \frac{1}{2} \int x^{-1/2} dx$.

3. Применяем формулу интегрирования:
$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$.

4. Упростим выражение:
$F(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x^{1/2} + C = x^{1/2} + C = \sqrt{x} + C$.

Таким образом, множество всех первообразных для функции $f(x)$ имеет вид $F(x) = \sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + C$

б)

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$. Это эквивалентно вычислению неопределенного интеграла $\int \frac{6}{\sqrt{x}} dx$.

1. Представим функцию в степенном виде:
$f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}} = 6 \cdot \frac{1}{x^{1/2}} = 6x^{-1/2}$.

2. Вычислим интеграл, используя ту же формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь, как и в предыдущем пункте, $n = -1/2$.
$F(x) = \int 6x^{-1/2} dx = 6 \int x^{-1/2} dx$.

3. Применяем формулу:
$F(x) = 6 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = 6 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$.

4. Упростим полученное выражение:
$F(x) = 6 \cdot 2 \cdot x^{1/2} + C = 12x^{1/2} + C = 12\sqrt{x} + C$.

Таким образом, множество всех первообразных для функции $f(x)$ имеет вид $F(x) = 12\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = 12\sqrt{x} + C$