Номер 48.1, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.1, страница 192.

Докажите, что функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$, если:

48.1 a) $F(x) = x^2 + x^3$, $f(x) = 2x + 3x^2$;

б) $F(x) = x^4 - x^{11}$, $f(x) = 4x^3 - 11x^{10}$;

в) $F(x) = x^7 + x^9$, $f(x) = 7x^6 + 9x^8$;

г) $F(x) = x^{13} - x^{19}$, $f(x) = 13x^{12} - 19x^{18}$.

Согласно определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Чтобы доказать утверждение для каждого пункта, мы найдем производную функции $F(x)$ и сравним ее с функцией $f(x)$.

Основная формула для дифференцирования, которая будет использоваться: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

а) Даны функции $F(x) = x^2 + x^3$ и $f(x) = 2x + 3x^2$.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования суммы:

$F'(x) = (x^2 + x^3)' = (x^2)' + (x^3)' = 2x^{2-1} + 3x^{3-1} = 2x + 3x^2$.

Сравнивая полученный результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = 2x + 3x^2$ в точности совпадает с $f(x)$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

б) Даны функции $F(x) = x^4 - x^{11}$ и $f(x) = 4x^3 - 11x^{10}$.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования разности:

$F'(x) = (x^4 - x^{11})' = (x^4)' - (x^{11})' = 4x^{4-1} - 11x^{11-1} = 4x^3 - 11x^{10}$.

Сравнивая полученный результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = 4x^3 - 11x^{10}$ совпадает с $f(x)$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

в) Даны функции $F(x) = x^7 + x^9$ и $f(x) = 7x^6 + 9x^8$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (x^7 + x^9)' = (x^7)' + (x^9)' = 7x^{7-1} + 9x^{9-1} = 7x^6 + 9x^8$.

Полученная производная $F'(x) = 7x^6 + 9x^8$ равна функции $f(x)$.

Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

г) Даны функции $F(x) = x^{13} - x^{19}$ и $f(x) = 13x^{12} - 19x^{18}$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (x^{13} - x^{19})' = (x^{13})' - (x^{19})' = 13x^{13-1} - 19x^{19-1} = 13x^{12} - 19x^{18}$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, мы видим, что они идентичны.

Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.