Номер 47.23, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.23, страница 190.

47.23 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = x - \ln x$ на заданном отрезке:

а) $[\frac{1}{e}; e]$; б) $[e; e^2]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке используется следующий алгоритм:
1. Найти производную функции $y'(x)$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $y'(x)=0$ и найдя точки, где производная не существует.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Дана функция: $y = x - \ln x$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x - \ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$.

2. Найдем критические точки. Производная существует для всех $x > 0$ (область определения функции). Приравняем производную к нулю:

$1 - \frac{1}{x} = 0$

$\frac{1}{x} = 1$

$x = 1$

Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x=1$.

а) Рассмотрим отрезок $[\frac{1}{e}; e]$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x=1$ данному отрезку. Так как $e \approx 2.718$, то $\frac{1}{e} \approx 0.368$. Отрезок приблизительно равен $[0.368; 2.718]$. Точка $x=1$ принадлежит этому отрезку.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

• При $x = \frac{1}{e}$: $y(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} - \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} - (-1) = 1 + \frac{1}{e}$.
• При $x = 1$: $y(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.
• При $x = e$: $y(e) = e - \ln(e) = e - 1$.

5. Сравним полученные значения: $1 + \frac{1}{e}$, $1$ и $e-1$.

Учитывая, что $e \approx 2.718$:
$1 + \frac{1}{e} \approx 1 + 0.368 = 1.368$
$e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718$
Следовательно, $1 < 1 + \frac{1}{e} < e-1$.

Наименьшее значение функции на отрезке $y_{\text{наим}} = 1$, а наибольшее $y_{\text{наиб}} = e-1$.

Ответ: наименьшее значение $y_{\text{наим}} = 1$, наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = e - 1$.

б) Рассмотрим отрезок $[e; e^2]$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x=1$ данному отрезку. Так как $e \approx 2.718$, отрезок начинается со значения, большего 1. Следовательно, точка $x=1$ не принадлежит отрезку $[e; e^2]$.

В этом случае для нахождения наименьшего и наибольшего значений достаточно вычислить значения функции только на концах отрезка.

Другой способ: исследуем поведение функции на отрезке. Для любого $x$ из отрезка $[e; e^2]$ выполняется неравенство $x > 1$. Тогда $\frac{1}{x} < 1$, и производная $y' = 1 - \frac{1}{x} > 0$. Это означает, что функция на данном отрезке монотонно возрастает.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой точке отрезка, а наибольшее — в правой.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка:

• При $x = e$: $y(e) = e - \ln(e) = e - 1$.
• При $x = e^2$: $y(e^2) = e^2 - \ln(e^2) = e^2 - 2$.

5. Наименьшее значение функции на отрезке $y_{\text{наим}} = e - 1$, а наибольшее $y_{\text{наиб}} = e^2 - 2$.

Ответ: наименьшее значение $y_{\text{наим}} = e - 1$, наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = e^2 - 2$.