Номер 47.28, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.28, страница 191.

47.28 При каких значениях параметра $a$ функция $y = x^6e^{-x}$ на интервале $(a; a + 7)$:

а) имеет одну точку экстремума;

б) имеет две точки экстремума;

в) убывает;

г) возрастает?

Для того чтобы исследовать функцию $y = x^6 e^{-x}$ на наличие экстремумов и на промежутки монотонности, найдем ее производную. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^6 e^{-x})' = (x^6)' e^{-x} + x^6 (e^{-x})' = 6x^5 e^{-x} - x^6 e^{-x}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$y' = x^5 e^{-x} (6 - x)$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$x^5 e^{-x} (6 - x) = 0$

Поскольку $e^{-x} > 0$ для любого $x$, то уравнение сводится к:

$x^5 (6 - x) = 0$

Отсюда получаем две критические точки (точки возможного экстремума): $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось:

• При $x < 0$: $y' < 0$, функция убывает.
• При $0 < x < 6$: $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x > 6$: $y' < 0$, функция убывает.

Таким образом, функция имеет две точки экстремума: $x = 0$ — точка локального минимума, $x = 6$ — точка локального максимума. Интервалы убывания: $(-\infty; 0]$ и $[6; \infty)$. Интервал возрастания: $[0; 6]$.

Теперь рассмотрим заданный интервал $(a; a + 7)$ и ответим на вопросы задачи.

а) имеет одну точку экстремума

Это произойдет, если в интервал $(a; a + 7)$ попадет только одна из точек $x=0$ или $x=6$.

Случай 1: В интервал попадает точка $x=0$, но не попадает точка $x=6$. Это означает, что должны выполняться условия: $a < 0 < a+7$ и ($6 \le a$ или $6 \ge a+7$). Из $a < 0 < a+7$ следует $-7 < a < 0$. Условие $6 \le a$ противоречит $a < 0$. Остается условие $6 \ge a+7$, что дает $a \le -1$. Пересекая $-7 < a < 0$ и $a \le -1$, получаем $-7 < a \le -1$.

Случай 2: В интервал попадает точка $x=6$, но не попадает точка $x=0$. Это означает, что должны выполняться условия: $a < 6 < a+7$ и ($0 \le a$ или $0 \ge a+7$). Из $a < 6 < a+7$ следует $-1 < a < 6$. Условие $0 \ge a+7$ (т.е. $a \le -7$) противоречит $a > -1$. Остается условие $0 \le a$. Пересекая $-1 < a < 6$ и $a \ge 0$, получаем $0 \le a < 6$.

Объединяя оба случая, получаем, что функция имеет одну точку экстремума на интервале $(a; a+7)$ при $a \in (-7; -1] \cup [0; 6)$.

Ответ: $a \in (-7; -1] \cup [0; 6)$.

б) имеет две точки экстремума

Это произойдет, если в интервал $(a; a + 7)$ попадут обе точки экстремума: $x=0$ и $x=6$. Для этого должны одновременно выполняться два неравенства:

$a < 0$ и $a + 7 > 6$.

Из второго неравенства получаем $a > 6 - 7$, то есть $a > -1$. Объединяя условия $a < 0$ и $a > -1$, получаем $-1 < a < 0$.

Ответ: $a \in (-1; 0)$.

в) убывает

Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[6; \infty)$. Для того чтобы функция убывала на всем интервале $(a; a + 7)$, этот интервал должен целиком содержаться в одном из промежутков убывания.

Случай 1: Интервал $(a; a + 7)$ содержится в $(-\infty; 0]$. Это означает, что $a + 7 \le 0$, откуда $a \le -7$.

Случай 2: Интервал $(a; a + 7)$ содержится в $[6; \infty)$. Это означает, что $a \ge 6$.

Объединяя оба случая, получаем, что функция убывает при $a \in (-\infty; -7] \cup [6; \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -7] \cup [6; \infty)$.

г) возрастает

Функция возрастает на промежутке $[0; 6]$. Для того чтобы функция возрастала на всем интервале $(a; a + 7)$, этот интервал должен целиком содержаться в промежутке $[0; 6]$. Это означает, что должны одновременно выполняться неравенства: $a \ge 0$ и $a + 7 \le 6$.

Из второго неравенства получаем $a \le 6 - 7$, то есть $a \le -1$. Система неравенств $a \ge 0$ и $a \le -1$ не имеет решений. Также можно заметить, что длина интервала возрастания равна $6-0=6$, а длина заданного интервала равна $7$. Интервал длиной 7 не может содержаться в интервале длиной 6.

Ответ: таких значений $a$ не существует.