Номер 48.7, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.7, страница 193.

48.7 a) $f(x) = e^x + \frac{1}{x}$;

б) $f(x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2} - \frac{5}{\sin^2 x}$;

В) $f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}$;

Г) $f(x) = \sqrt[5]{x} - 2e^x$.

а)

Дана функция $f(x) = e^x + \frac{1}{x}$. Требуется найти ее первообразную $F(x)$, то есть неопределенный интеграл.

Первообразная находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (e^x + \frac{1}{x}) dx$

Используя свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов), получаем:

$F(x) = \int e^x dx + \int \frac{1}{x} dx$

Применяем табличные интегралы: $\int e^x dx = e^x$ и $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$. Модуль в логарифме необходим, так как исходная функция определена для всех $x \neq 0$.

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную интегрирования $C$, получаем:

$F(x) = e^x + \ln|x| + C$

Ответ: $F(x) = e^x + \ln|x| + C$

б)

Дана функция $f(x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2} - \frac{5}{\sin^2 x}$. Найдем ее первообразную $F(x)$.

Для удобства интегрирования представим функцию в виде:

$f(x) = 3 \cdot \frac{1}{x} + 4 \cdot x^{-2} - 5 \cdot \frac{1}{\sin^2 x}$

Интегрируем функцию $f(x)$:

$F(x) = \int (3 \cdot \frac{1}{x} + 4x^{-2} - \frac{5}{\sin^2 x}) dx$

Применяя свойство линейности интеграла, получаем:

$F(x) = 3\int \frac{1}{x} dx + 4\int x^{-2} dx - 5\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

Используем табличные интегралы:

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x$

Подставляем найденные интегралы и добавляем константу интегрирования $C$:

$F(x) = 3\ln|x| + 4(-\frac{1}{x}) - 5(-\cot x) + C = 3\ln|x| - \frac{4}{x} + 5\cot x + C$

Ответ: $F(x) = 3\ln|x| - \frac{4}{x} + 5\cot x + C$

в)

Дана функция $f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}$. Найдем ее первообразную $F(x)$.

Первообразная находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}) dx$

Используя свойство линейности интеграла, получаем:

$F(x) = \int x^{\frac{2}{3}} dx - \int x^{-\frac{1}{3}} dx$

Применяем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ для каждого слагаемого:

$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}$

$\int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}$

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования $C$:

$F(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C$

г)

Дана функция $f(x) = \sqrt[5]{x} - 2e^x$. Найдем ее первообразную $F(x)$.

Сначала представим корень в виде степени:

$f(x) = x^{\frac{1}{5}} - 2e^x$

Интегрируем функцию $f(x)$:

$F(x) = \int (x^{\frac{1}{5}} - 2e^x) dx$

Применяя свойство линейности интеграла, получаем:

$F(x) = \int x^{\frac{1}{5}} dx - \int 2e^x dx = \int x^{\frac{1}{5}} dx - 2\int e^x dx$

Используем табличные интегралы:

Для степенной функции: $\int x^{\frac{1}{5}} dx = \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} = \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} = \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}}$

Для экспоненциальной функции: $\int e^x dx = e^x$

Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования $C$:

$F(x) = \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} - 2e^x + C$

Ответ: $F(x) = \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} - 2e^x + C$