Номер 48.8, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.8, страница 193.

48.8 a) $y = \sin^2 x + \cos^2 x;$

б) $y = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2};$

В) $y = 1 + \operatorname{tg}^2 x;$

Г) $y = 1 + \operatorname{ctg}^2 x.$

а)
Дана функция $y = \sin^2 x + \cos^2 x$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, для любого значения $x$ выполняется равенство $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Таким образом, данная функция тождественно равна 1.
Ответ: $y = 1$.

б)
Дана функция $y = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
В данном случае, если принять $\alpha = \frac{x}{2}$, то $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.
Подставляя это в формулу, получаем: $y = \sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \sin x$.
Следовательно, исходную функцию можно упростить до $y = \sin x$.
Ответ: $y = \sin x$.

в)
Дана функция $y = 1 + \text{tg}^2 x$.
Это выражение является одним из следствий основного тригонометрического тождества. Упростим его:
$1 + \text{tg}^2 x = 1 + \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
Приводим к общему знаменателю:
$1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$.
Поскольку $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получаем:
$y = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Эта функция определена для всех $x$, кроме тех, где $\cos x = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $y = \frac{1}{\cos^2 x}$.

г)
Дана функция $y = 1 + \text{ctg}^2 x$.
Это выражение также является следствием основного тригонометрического тождества. Упростим его, используя определение котангенса $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$1 + \text{ctg}^2 x = 1 + \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2 = 1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$.
Приводим к общему знаменателю:
$1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$y = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Эта функция определена для всех $x$, кроме тех, где $\sin x = 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $y = \frac{1}{\sin^2 x}$.