Номер 48.13, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.13, страница 194.

48.13 Точка движется по координатной прямой, её скорость задана формулой $v = 1 + 2t$, $t$ — время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени $t = 2$ координата точки равнялась числу $5$.

Закон движения точки, который описывается функцией координаты $x(t)$, является первообразной для функции скорости $v(t)$. Это означает, что для нахождения закона движения необходимо найти неопределенный интеграл от функции скорости по времени $t$.

По условию, скорость точки задана формулой: $v(t) = 1 + 2t$.

Найдем первообразную для функции скорости, чтобы получить общий вид закона движения:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (1 + 2t) dt$

Применяя правила интегрирования, получаем:

$\int (1 + 2t) dt = \int 1 dt + \int 2t dt = t + 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C = t^2 + t + C$.

Таким образом, общий вид закона движения имеет вид: $x(t) = t^2 + t + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.

Чтобы найти значение константы $C$, воспользуемся дополнительным условием из задачи: в момент времени $t = 2$ координата точки равнялась $5$. Это можно записать как $x(2) = 5$. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$x(2) = 2^2 + 2 + C = 5$

$4 + 2 + C = 5$

$6 + C = 5$

Отсюда находим значение константы $C$:

$C = 5 - 6 = -1$.

Теперь, подставив найденное значение $C = -1$ в общий вид закона движения, получаем искомый закон движения точки:

$x(t) = t^2 + t - 1$.

Ответ: $x(t) = t^2 + t - 1$.