Номер 48.19, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.19, страница 194.

48.19 Некоторая первообразная функции $y = 3 \cos 3x + 6 \sin 6x$ принимает в точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение 6. Какое значение принимает та же первообразная в точке $x = \frac{\pi}{6}$?

Пусть $F(x)$ – первообразная для функции $y = 3\cos{3x} + 6\sin{6x}$. Для нахождения общего вида первообразной необходимо проинтегрировать заданную функцию $y(x)$.

$F(x) = \int (3\cos{3x} + 6\sin{6x}) dx = \int 3\cos{3x} dx + \int 6\sin{6x} dx$

Используем стандартные правила интегрирования: $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$ и $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.

$F(x) = 3 \cdot \frac{1}{3}\sin(3x) + 6 \cdot (-\frac{1}{6}\cos(6x)) + C = \sin(3x) - \cos(6x) + C$, где $C$ – константа интегрирования.

По условию задачи известно, что значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равно 6. Это можно записать как $F(\frac{\pi}{2}) = 6$. Используем это условие для нахождения константы $C$.

Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение для $F(x)$: $F(\frac{\pi}{2}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{2}) + C = \sin(\frac{3\pi}{2}) - \cos(3\pi) + C$

Вычислим значения тригонометрических функций: $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ и $\cos(3\pi) = -1$.

Подставим эти значения в уравнение: $-1 - (-1) + C = 6$ $-1 + 1 + C = 6$ $C = 6$

Таким образом, мы нашли конкретную первообразную, которая удовлетворяет условию задачи: $F(x) = \sin(3x) - \cos(6x) + 6$

Теперь нам нужно найти значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{6}$. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в найденное выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + 6 = \sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\pi) + 6$

Вычислим значения тригонометрических функций: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\pi) = -1$.

Подставим эти значения: $F(\frac{\pi}{6}) = 1 - (-1) + 6 = 1 + 1 + 6 = 8$

Ответ: 8