Номер 49.2, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.2, страница 195.

49.2 а) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$

б) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x};$

в) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx;$

г) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}.$

а) Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.
Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является функция $F(x) = -\cos x$.
Подставляем значения в формулу: $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(\frac{\pi}{2})) = (-(-1)) - (-0) = 1 - 0 = 1$.
Ответ: 1

б) Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ является функция $F(x) = \tan x$.
Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = [\tan x]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(-\frac{\pi}{4})$.
Зная, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$, получаем: $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

в) Первообразной для функции $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$.
Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$.
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, получаем: $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

г) Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ является функция $F(x) = -\cot x$.
Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4}))$.
Зная, что $\cot(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем: $(-0) - (-1) = 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1