Номер 49.5, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.5, страница 196.

49.5 a) $\int_{-1}^{0} \sqrt[3]{1 - 2x} dx;$

B) $\int_{\frac{2}{3}}^{11} 5\sqrt[5]{3x - 1} dx;$

б) $\int_{4}^{5} \frac{1}{(x - 3)^3} dx;$

Г) $\int_{2}^{3} (5x - 7)^{-\frac{2}{3}} dx.$

а) Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{0} \sqrt[3]{1-2x} \, dx$ применим метод замены переменной. Пусть $t = 1-2x$. Тогда $dt = -2dx$, откуда $dx = -\frac{1}{2}dt$. Найдем новые пределы интегрирования: если $x = -1$, то $t = 1 - 2(-1) = 3$; если $x = 0$, то $t = 1 - 2(0) = 1$.

Подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:

$\int_{-1}^{0} \sqrt[3]{1-2x} \, dx = \int_{3}^{1} \sqrt[3]{t} \left(-\frac{1}{2}\right) dt = -\frac{1}{2} \int_{3}^{1} t^{\frac{1}{3}} dt = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} t^{\frac{1}{3}} dt$.

Теперь найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left[ \frac{t^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} [t^{\frac{4}{3}}]_{1}^{3} = \frac{3}{8} (3^{\frac{4}{3}} - 1^{\frac{4}{3}}) = \frac{3}{8} (3\sqrt[3]{3} - 1)$.

Ответ: $\frac{3}{8}(3\sqrt[3]{3} - 1)$.

б) Вычислим интеграл $\int_{4}^{5} \frac{1}{(x-3)^3} dx$. Перепишем подынтегральное выражение в виде $(x-3)^{-3}$. Применим замену переменной: $t = x-3$. Тогда $dt = dx$. Новые пределы интегрирования: если $x = 4$, то $t = 4 - 3 = 1$; если $x = 5$, то $t = 5 - 3 = 2$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{1}^{2} t^{-3} dt$.

Найдем первообразную и вычислим определенный интеграл:

$\left[ \frac{t^{-3+1}}{-3+1} \right]_{1}^{2} = \left[ \frac{t^{-2}}{-2} \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{1}{2t^2} \right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2 \cdot 2^2}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1^2}\right) = -\frac{1}{8} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$.

в) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{2}{3}}^{11} 5\sqrt[5]{3x-1} \, dx$ вынесем константу 5 за знак интеграла и сделаем замену переменной. Пусть $t = 3x-1$. Тогда $dt = 3dx$, откуда $dx = \frac{1}{3}dt$. Новые пределы интегрирования: если $x = \frac{2}{3}$, то $t = 3(\frac{2}{3}) - 1 = 2-1 = 1$; если $x = 11$, то $t = 3(11) - 1 = 32$.

Подставляем в интеграл:

$5 \int_{\frac{2}{3}}^{11} (3x-1)^{\frac{1}{5}} dx = 5 \int_{1}^{32} t^{\frac{1}{5}} \frac{1}{3} dt = \frac{5}{3} \int_{1}^{32} t^{\frac{1}{5}} dt$.

Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:

$\frac{5}{3} \left[ \frac{t^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} \right]_{1}^{32} = \frac{5}{3} \left[ \frac{t^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} \right]_{1}^{32} = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{6} [t^{\frac{6}{5}}]_{1}^{32} = \frac{25}{18} (32^{\frac{6}{5}} - 1^{\frac{6}{5}})$.

Так как $32^{\frac{1}{5}} = 2$, то $32^{\frac{6}{5}} = (32^{\frac{1}{5}})^6 = 2^6 = 64$.

$\frac{25}{18}(64 - 1) = \frac{25 \cdot 63}{18} = \frac{25 \cdot 7}{2} = \frac{175}{2} = 87.5$.

Ответ: $\frac{175}{2}$.

г) Вычислим интеграл $\int_{2}^{3} (5x-7)^{-\frac{2}{3}} dx$. Используем замену переменной: $t = 5x-7$. Тогда $dt = 5dx$, откуда $dx = \frac{1}{5}dt$. Новые пределы интегрирования: если $x = 2$, то $t = 5(2) - 7 = 3$; если $x = 3$, то $t = 5(3) - 7 = 8$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{3}^{8} t^{-\frac{2}{3}} \frac{1}{5} dt = \frac{1}{5} \int_{3}^{8} t^{-\frac{2}{3}} dt$.

Находим первообразную и вычисляем:

$\frac{1}{5} \left[ \frac{t^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} \right]_{3}^{8} = \frac{1}{5} \left[ \frac{t^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} \right]_{3}^{8} = \frac{1}{5} \cdot 3 [t^{\frac{1}{3}}]_{3}^{8} = \frac{3}{5} (\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{3}) = \frac{3}{5} (2 - \sqrt[3]{3})$.

Ответ: $\frac{3}{5}(2 - \sqrt[3]{3})$.