Номер 49.7, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.7, страница 196.

49.7 a) $\int_{3}^{6} \frac{dx}{2x - 1}$;

б) $\int_{-1}^{0} \frac{dx}{-5x + 6}$;

В) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4x + 1} dx$;

Г) $\int_{5}^{8} \frac{dx}{9 - x}$.

а) Для вычисления определенного интеграла $ \int_3^6 \frac{dx}{2x-1} $ сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \frac{1}{2x-1} $. Используем табличный интеграл вида $ \int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b|+C $.

В данном случае $ a=2 $ и $ b=-1 $, поэтому первообразная $ F(x) = \frac{1}{2}\ln|2x-1| $.

Далее применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_3^6 \frac{dx}{2x-1} = \left. \frac{1}{2}\ln|2x-1| \right|_3^6 = \frac{1}{2}\ln|2 \cdot 6 - 1| - \frac{1}{2}\ln|2 \cdot 3 - 1| $

$ = \frac{1}{2}\ln|11| - \frac{1}{2}\ln|5| = \frac{1}{2}(\ln(11) - \ln(5)) = \frac{1}{2}\ln\frac{11}{5} $.

Ответ: $ \frac{1}{2}\ln\frac{11}{5} $.

б) Вычислим определенный интеграл $ \int_{-1}^0 \frac{dx}{-5x+6} $.

Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{-5x+6} $ находится аналогично. Здесь $ a=-5 $ и $ b=6 $, поэтому первообразная $ F(x) = \frac{1}{-5}\ln|-5x+6| = -\frac{1}{5}\ln|-5x+6| $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^0 \frac{dx}{-5x+6} = \left. -\frac{1}{5}\ln|-5x+6| \right|_{-1}^0 = \left(-\frac{1}{5}\ln|-5 \cdot 0 + 6|\right) - \left(-\frac{1}{5}\ln|-5 \cdot (-1) + 6|\right) $

$ = -\frac{1}{5}\ln|6| - \left(-\frac{1}{5}\ln|5+6|\right) = -\frac{1}{5}\ln(6) + \frac{1}{5}\ln(11) = \frac{1}{5}(\ln(11) - \ln(6)) = \frac{1}{5}\ln\frac{11}{6} $.

Ответ: $ \frac{1}{5}\ln\frac{11}{6} $.

в) Вычислим определенный интеграл $ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4x+1}dx $.

Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{4x+1} $ находится по той же формуле. В данном случае $ a=4 $ и $ b=1 $, поэтому первообразная $ F(x) = \frac{1}{4}\ln|4x+1| $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{4x+1} = \left. \frac{1}{4}\ln|4x+1| \right|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}\ln\left|4 \cdot \frac{1}{2} + 1\right| - \frac{1}{4}\ln|4 \cdot 0 + 1| $

$ = \frac{1}{4}\ln|2+1| - \frac{1}{4}\ln|1| = \frac{1}{4}\ln(3) - \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{1}{4}\ln(3) $.

Ответ: $ \frac{1}{4}\ln(3) $.

г) Вычислим определенный интеграл $ \int_5^8 \frac{dx}{9-x} $.

Перепишем подынтегральную функцию как $ f(x) = \frac{1}{-x+9} $. Первообразная для этой функции находится по той же формуле. Здесь $ a=-1 $ и $ b=9 $, поэтому первообразная $ F(x) = \frac{1}{-1}\ln|-x+9| = -\ln|9-x| $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_5^8 \frac{dx}{9-x} = \left. -\ln|9-x| \right|_5^8 = (-\ln|9-8|) - (-\ln|9-5|) $

$ = -\ln|1| - (-\ln|4|) = 0 + \ln(4) = \ln(4) $.

Ответ: $ \ln(4) $.