Номер 49.9, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.9, страница 196.

49.9 Дан прямолинейный стержень длиной $l$. Он неоднороден, и его плотность в точке, удалённой от левого конца на $x$, $0 \le x \le l$, определяется по формуле $\rho = \rho(x)$. Найдите массу стержня, если:

а) $\rho(x) = x^2 - x + 1$, $l = 6$;

б) $\rho(x) = \frac{1}{(x+3)^2}$, $l = 3$;

в) $\rho(x) = -x^2 + 6x$, $l = 2$;

г) $\rho(x) = \frac{1}{(2x+1)^2}$, $l = 1$.

Масса $m$ прямолинейного неоднородного стержня длиной $l$, плотность которого в точке $x$ (где $x$ — расстояние от левого конца, $0 \le x \le l$) задана функцией $\rho(x)$, вычисляется с помощью определенного интеграла:

$m = \int_{0}^{l} \rho(x) \,dx$

Применим эту формулу для решения каждого из подпунктов.

а) $\rho(x) = x^2 - x + 1, l = 6;$

Подставляем данные в формулу для массы:

$m = \int_{0}^{6} (x^2 - x + 1) \,dx$

Для вычисления интеграла сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2 - x + 1$.

$F(x) = \int (x^2 - x + 1) \,dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x$

Теперь, используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим значение определенного интеграла:

$m = F(6) - F(0) = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{6}$

$m = \left(\frac{6^3}{3} - \frac{6^2}{2} + 6\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} + 0\right)$

$m = \left(\frac{216}{3} - \frac{36}{2} + 6\right) - 0 = 72 - 18 + 6 = 60$

Ответ: 60.

б) $\rho(x) = \frac{1}{(x+3)^2}, l = 3;$

Подставляем данные в формулу для массы:

$m = \int_{0}^{3} \frac{1}{(x+3)^2} \,dx$

Для нахождения первообразной воспользуемся методом замены переменной. Пусть $u = x+3$, тогда $du = dx$.

$\int \frac{1}{(x+3)^2} \,dx = \int \frac{1}{u^2} \,du = \int u^{-2} \,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{x+3}$

Вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$m = \left[ -\frac{1}{x+3} \right]_{0}^{3} = \left(-\frac{1}{3+3}\right) - \left(-\frac{1}{0+3}\right)$

$m = -\frac{1}{6} - \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) $\rho(x) = -x^2 + 6x, l = 2;$

Подставляем данные в формулу для массы:

$m = \int_{0}^{2} (-x^2 + 6x) \,dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (-x^2 + 6x) \,dx = -\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 3x^2$

Вычисляем определенный интеграл:

$m = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3} + 3 \cdot 2^2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2\right)$

$m = \left(-\frac{8}{3} + 12\right) - 0 = -\frac{8}{3} + \frac{36}{3} = \frac{28}{3}$

Ответ: $\frac{28}{3}$.

г) $\rho(x) = \frac{1}{(2x+1)^2}, l = 1.$

Подставляем данные в формулу для массы:

$m = \int_{0}^{1} \frac{1}{(2x+1)^2} \,dx$

Для нахождения первообразной воспользуемся методом замены переменной. Пусть $u = 2x+1$, тогда $du = 2dx$ и $dx = \frac{1}{2}du$.

$\int \frac{1}{(2x+1)^2} \,dx = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^{-2} \,du = \frac{1}{2} \left(\frac{u^{-1}}{-1}\right) = -\frac{1}{2u} = -\frac{1}{2(2x+1)}$

Вычисляем определенный интеграл:

$m = \left[ -\frac{1}{2(2x+1)} \right]_{0}^{1} = \left(-\frac{1}{2(2 \cdot 1 + 1)}\right) - \left(-\frac{1}{2(2 \cdot 0 + 1)}\right)$

$m = \left(-\frac{1}{2 \cdot 3}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1}\right) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.