Номер 49.16, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.16, страница 198.

49.16 a) $y = 0$, $x = 4$, $y = \sqrt{x}$;

б) $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$, $y = \frac{1}{x^2}$;

В) $y = 1$, $x = 0$, $y = \sqrt[3]{x}$;

Г) $y = 2$, $x = 0$, $y = \sqrt{x}$.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 4$ и $y = \sqrt{x}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура ограничена сверху кривой $y = \sqrt{x}$, снизу осью Ox ($y = 0$), слева осью Oy ($x=0$, точка пересечения $y=\sqrt{x}$ и $y=0$) и справа прямой $x = 4$. Таким образом, пределы интегрирования по $x$ будут от $0$ до $4$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле площади криволинейной трапеции:

$S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} \,dx = \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} \,dx$

Найдем первообразную для $x^{\frac{1}{2}}$: $F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{4} = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 - 0 = \frac{2}{3}(2^3) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.

Ответ: $S = \frac{16}{3}$

б)

Фигура ограничена линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 1$, $x = 3$ и $y = \frac{1}{x^2}$. Это криволинейная трапеция, ограниченная сверху функцией $y = \frac{1}{x^2}$, снизу осью Ox, слева прямой $x=1$ и справа прямой $x=3$.

Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл от функции $y = \frac{1}{x^2}$ в пределах от $1$ до $3$:

$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1}^{3} x^{-2} \,dx$

Найдем первообразную для $x^{-2}$: $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{3} = (-\frac{1}{3}) - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Ответ: $S = \frac{2}{3}$

в)

Фигура ограничена линиями $y = 1$, $x = 0$ (ось Oy) и $y = \sqrt[3]{x}$. Для нахождения площади этой фигуры удобнее интегрировать по переменной $y$. Выразим $x$ через $y$ из уравнения кривой: $y = \sqrt[3]{x} \implies x = y^3$.

Найдем пределы интегрирования по $y$. Нижняя граница определяется пересечением кривой $y = \sqrt[3]{x}$ с осью $x=0$, что дает $y=0$. Верхняя граница задана прямой $y=1$. Таким образом, пределы интегрирования по $y$ будут от $0$ до $1$. Фигура ограничена справа кривой $x=y^3$ и слева осью Oy ($x=0$).

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{1} y^3 \,dy$

Найдем первообразную для $y^3$: $F(y) = \frac{y^{3+1}}{3+1} = \frac{y^4}{4}$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \frac{y^4}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $S = \frac{1}{4}$

г)

Фигура ограничена линиями $y = 2$, $x = 0$ (ось Oy) и $y = \sqrt{x}$. Как и в предыдущем пункте, удобнее провести интегрирование по переменной $y$. Выразим $x$ через $y$: $y = \sqrt{x} \implies x = y^2$ (при $y \ge 0$).

Нижняя граница по $y$ определяется пересечением $y=\sqrt{x}$ и $x=0$, что дает $y=0$. Верхняя граница задана прямой $y=2$. Пределы интегрирования по $y$ — от $0$ до $2$. Фигура ограничена справа кривой $x=y^2$ и слева осью Oy ($x=0$).

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{2} y^2 \,dy$

Найдем первообразную для $y^2$: $F(y) = \frac{y^{2+1}}{2+1} = \frac{y^3}{3}$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \frac{y^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $S = \frac{8}{3}$