Номер 49.17, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.17, страница 198.

49.17 a) $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$, $y = e^x$;

б) $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$, $y = e^{-x}$;

в) $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$, $y = e^x$;

г) $y = 0$, $x = -2$, $x = 0$, $y = e^{-x}$.

а)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 0$, $x = 3$ и графиком функции $y = e^x$. Так как на отрезке $[0, 3]$ функция $y = e^x$ неотрицательна ($e^x > 0$ для любого $x$), искомая площадь является площадью криволинейной трапеции и вычисляется с помощью определенного интеграла.

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$, снизу осью абсцисс, и по бокам прямыми $x=a$ и $x=b$, имеет вид: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

В данном случае $f(x) = e^x$, $a = 0$ и $b = 3$. Подставляем значения в формулу: $S = \int_{0}^{3} e^x \,dx$.

Первообразная для функции $e^x$ есть сама функция $e^x$. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: $S = [e^x]_{0}^{3} = e^3 - e^0 = e^3 - 1$.

Ответ: $e^3 - 1$

б)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$ и графиком функции $y = e^{-x}$. На отрезке $[0, 4]$ функция $y = e^{-x}$ неотрицательна, поэтому площадь вычисляется по той же формуле: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

Здесь $f(x) = e^{-x}$, $a = 0$ и $b = 4$. $S = \int_{0}^{4} e^{-x} \,dx$.

Первообразная для функции $e^{-x}$ равна $-e^{-x}$. Проверим: $(-e^{-x})' = -e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}$. Вычисляем интеграл: $S = [-e^{-x}]_{0}^{4} = (-e^{-4}) - (-e^{-0}) = -e^{-4} - (-1) = 1 - e^{-4}$.

Ответ: $1 - e^{-4}$

в)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$ и графиком функции $y = e^x$. На отрезке $[-1, 1]$ функция $y = e^x$ неотрицательна. $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

В этом случае $f(x) = e^x$, $a = -1$ и $b = 1$. $S = \int_{-1}^{1} e^x \,dx$.

Первообразная для $e^x$ есть $e^x$. Вычисляем интеграл: $S = [e^x]_{-1}^{1} = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$.

Ответ: $e - \frac{1}{e}$

г)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = -2$, $x = 0$ и графиком функции $y = e^{-x}$. На отрезке $[-2, 0]$ функция $y = e^{-x}$ неотрицательна. $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

Здесь $f(x) = e^{-x}$, $a = -2$ и $b = 0$. $S = \int_{-2}^{0} e^{-x} \,dx$.

Первообразная для $e^{-x}$ равна $-e^{-x}$. Вычисляем интеграл: $S = [-e^{-x}]_{-2}^{0} = (-e^{-0}) - (-e^{-(-2)}) = -e^0 - (-e^2) = -1 + e^2 = e^2 - 1$.

Ответ: $e^2 - 1$