Номер 49.21, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.21, страница 199.

49.21 а) $x = 1, y = e^x, y = e^{-x}$;

б) $y = \frac{1}{e^x}, y = 1, x = -1$;

В) $y = e^x, x = 2, x + 2y = 2$;

Г) $y = e^x, y = -e^x, x = 2, x = 0$.

а) Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $x = 1$, $y = e^x$ и $y = e^{-x}$, сначала определим границы области. Кривые $y = e^x$ и $y = e^{-x}$ пересекаются в точке, где $e^x = e^{-x}$, что эквивалентно $x = -x$, то есть $x = 0$. Таким образом, область интегрирования по оси $x$ будет от $0$ до $1$.

В интервале $[0, 1]$ необходимо определить, какая из функций является верхней, а какая — нижней границей фигуры. Сравним значения функций: для любого $x > 0$ справедливо неравенство $e^x > 1$ и $0 < e^{-x} < 1$, следовательно $e^x > e^{-x}$. Значит, кривая $y = e^x$ является верхней границей, а $y = e^{-x}$ — нижней.

Площадь $S$ фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) \,dx$

Вычислим этот интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ e^x - (-e^{-x}) \right]_{0}^{1} = \left[ e^x + e^{-x} \right]_{0}^{1} = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^0) = (e + \frac{1}{e}) - (1 + 1) = e + \frac{1}{e} - 2$.

Ответ: $e + \frac{1}{e} - 2$.

б) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{e^x}$, $y = 1$ и $x = -1$. Запишем первую функцию как $y = e^{-x}$.

Найдем точки пересечения кривых, чтобы определить пределы интегрирования. Кривые $y = e^{-x}$ и $y = 1$ пересекаются, когда $e^{-x} = 1$, что означает $-x = 0$, то есть $x = 0$. Таким образом, фигура ограничена вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 0$.

В интервале $[-1, 0]$ сравним значения функций. Для $x < 0$, имеем $-x > 0$, поэтому $e^{-x} > e^0 = 1$. Следовательно, верхняя граница фигуры — это кривая $y = e^{-x}$, а нижняя — прямая $y = 1$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности этих функций:

$S = \int_{-1}^{0} (e^{-x} - 1) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -e^{-x} - x \right]_{-1}^{0} = (-e^{-0} - 0) - (-e^{-(-1)} - (-1)) = (-1 - 0) - (-e^1 + 1) = -1 + e - 1 = e - 2$.

Ответ: $e - 2$.

в) Фигура ограничена линиями $y = e^x$, $x = 2$ и $x + 2y = 2$. Выразим $y$ из последнего уравнения: $2y = 2 - x \implies y = 1 - \frac{x}{2}$.

Найдем пределы интегрирования. Одна из границ задана явно: $x = 2$. Найдем другую границу, решив уравнение $e^x = 1 - \frac{x}{2}$ для нахождения точки пересечения. Легко заметить, что $x=0$ является решением: $e^0 = 1$ и $1 - \frac{0}{2} = 1$. Чтобы убедиться, что это единственное решение, рассмотрим функцию $f(x) = e^x + \frac{x}{2} - 1$. Ее производная $f'(x) = e^x + \frac{1}{2}$ всегда положительна, значит, функция $f(x)$ строго возрастает и может иметь не более одного корня. Итак, пределы интегрирования — от $x = 0$ до $x = 2$.

В интервале $[0, 2]$ сравним функции. Для $x > 0$, $e^x > 1$. Прямая $y = 1 - x/2$ убывает. Очевидно, что $e^x > 1 - x/2$ на данном интервале. Таким образом, $y=e^x$ — верхняя граница, $y = 1 - \frac{x}{2}$ — нижняя.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{0}^{2} \left( e^x - \left(1 - \frac{x}{2}\right) \right) \,dx = \int_{0}^{2} (e^x - 1 + \frac{x}{2}) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ e^x - x + \frac{x^2}{4} \right]_{0}^{2} = \left( e^2 - 2 + \frac{2^2}{4} \right) - (e^0 - 0 + 0) = (e^2 - 2 + 1) - 1 = e^2 - 1 - 1 = e^2 - 2$.

Ответ: $e^2 - 2$.

г) Фигура ограничена линиями $y = e^x$, $y = -e^x$, $x = 2$ и $x = 0$.

Пределы интегрирования заданы явно: от $x = 0$ до $x = 2$.

Для любого действительного $x$, значение $e^x$ всегда положительно. Следовательно, $e^x > -e^x$ для всех $x$ в интервале $[0, 2]$. Это означает, что кривая $y = e^x$ является верхней границей фигуры, а кривая $y = -e^x$ — нижней.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{2} (e^x - (-e^x)) \,dx = \int_{0}^{2} 2e^x \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 2e^x \right]_{0}^{2} = 2e^2 - 2e^0 = 2e^2 - 2(1) = 2e^2 - 2 = 2(e^2 - 1)$.

Ответ: $2(e^2 - 1)$.