Номер 49.27, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 8. Первообразная и интеграл. §49. Определённый интеграл - номер 49.27, страница 199.

Условие.

49.27 Вычислите:

a) $ \int_{-3}^{6} f(x) dx $, где $ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x \le 2 \\ 6 - x, & \text{если } x > 2 \end{cases} $

б) $ \int_{1}^{2} f(x) dx $, где $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ x^3, & \text{если } x > 1 \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Требуется вычислить определенный интеграл $ \int_{-3}^{6} f(x) dx $, где функция $ f(x) $ задана кусочно:

$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x \le 2 \\ 6-x, & \text{если } x > 2 \end{cases} $

Интервал интегрирования $ [-3, 6] $ включает в себя точку $ x=2 $, в которой меняется аналитическое выражение функции. Согласно свойству аддитивности определенного интеграла, мы можем разбить исходный интеграл на сумму двух интегралов по отрезкам $ [-3, 2] $ и $ [2, 6] $:

$ \int_{-3}^{6} f(x) dx = \int_{-3}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{6} f(x) dx $

На интервале $ [-3, 2] $ функция $ f(x) $ равна $ x^2 $. На интервале $ [2, 6] $ функция $ f(x) $ равна $ 6-x $. Подставим эти выражения в интегралы:

$ \int_{-3}^{6} f(x) dx = \int_{-3}^{2} x^2 dx + \int_{2}^{6} (6-x) dx $

Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} g(x) dx = G(b) - G(a) $, где $ G(x) $ — первообразная для $ g(x) $.

Первый интеграл:

$ \int_{-3}^{2} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-3}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{-27}{3} = \frac{8}{3} + \frac{27}{3} = \frac{35}{3} $

Второй интеграл:

$ \int_{2}^{6} (6-x) dx = \left. \left(6x - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{2}^{6} = \left(6 \cdot 6 - \frac{6^2}{2}\right) - \left(6 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}\right) = (36 - 18) - (12 - 2) = 18 - 10 = 8 $

Теперь сложим результаты:

$ \frac{35}{3} + 8 = \frac{35}{3} + \frac{24}{3} = \frac{59}{3} $

Ответ: $ \frac{59}{3} $.

б)

Требуется вычислить определенный интеграл $ \int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x) dx $, где функция $ f(x) $ задана кусочно:

$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ x^3, & \text{если } x > 1 \end{cases} $

Точка $ x=1 $, в которой меняется определение функции, лежит внутри интервала интегрирования $ [\frac{1}{4}, 2] $. Разобьем интеграл на два, используя свойство аддитивности:

$ \int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x) dx = \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx $

На интервале $ [\frac{1}{4}, 1] $ функция $ f(x) $ равна $ \frac{1}{\sqrt{x}} $. На интервале $ [1, 2] $ функция $ f(x) $ равна $ x^3 $. Подставим эти выражения:

$ \int_{\frac{1}{4}}^{2} f(x) dx = \int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx + \int_{1}^{2} x^3 dx $

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Для первого интеграла представим подынтегральную функцию в виде $ x^{-1/2} $:

$ \int_{\frac{1}{4}}^{1} x^{-1/2} dx = \left. \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right|_{\frac{1}{4}}^{1} = \left. \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right|_{\frac{1}{4}}^{1} = \left. 2\sqrt{x} \right|_{\frac{1}{4}}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1 $

Второй интеграл:

$ \int_{1}^{2} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} $

Суммируем полученные значения:

$ 1 + \frac{15}{4} = \frac{4}{4} + \frac{15}{4} = \frac{19}{4} $

Ответ: $ \frac{19}{4} $.