Номер 49.31, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.31, страница 200.

49.31 Найдите площадь параболического сегмента, изображённого на:

а) рис. 74;

б) рис. 75.

Рис. 74

Рис. 75

а) рис. 74;

Для нахождения площади параболического сегмента необходимо определить уравнения параболы и прямой, найти их точки пересечения и вычислить определенный интеграл разности функций.

1. Уравнение параболы. Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. В нашем случае $y = a(x - 1)^2 + 1$. Парабола проходит через точку $(0, 0)$. Подставим эти координаты в уравнение, чтобы найти коэффициент $a$:
$0 = a(0 - 1)^2 + 1$
$0 = a + 1$
$a = -1$
Таким образом, уравнение параболы: $y = -(x - 1)^2 + 1 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 = -x^2 + 2x$.

2. Уравнение прямой. Прямая проходит через точки пересечения с параболой: $(-1, -3)$ и $(2, 0)$. Найдем уравнение прямой, проходящей через эти две точки. Угловой коэффициент $k$ равен:$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-3)}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1$.
Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом $y - y_1 = k(x - x_1)$ и точкой $(2, 0)$:
$y - 0 = 1(x - 2)$
$y = x - 2$.

3. Площадь фигуры. Площадь фигуры, ограниченной кривыми, находится как интеграл от разности верхней и нижней функций. На интервале от $x = -1$ до $x = 2$ парабола $y = -x^2 + 2x$ находится выше прямой $y = x - 2$. Площадь $S$ вычисляется по формуле:$S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{нижн}(x)) \,dx$
$S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2x) - (x - 2)) \,dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \,dx$.

Вычислим интеграл:$\int (-x^2 + x + 2) \,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$.
$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right)$
$S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{2+3-12}{6} \right)$
$S = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{18 - 8}{3} + \frac{7}{6} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: 4.5.

б) рис. 75;

1. Уравнение параболы. Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$. Уравнение имеет вид $y = a(x - 1)^2 - 2$. Парабола проходит через точку $(0, -1)$. Подставим эти координаты, чтобы найти $a$:
$-1 = a(0 - 1)^2 - 2$
$-1 = a - 2$
$a = 1$
Таким образом, уравнение параболы: $y = (x - 1)^2 - 2 = x^2 - 2x + 1 - 2 = x^2 - 2x - 1$.

2. Уравнение прямой. Прямая проходит через точки пересечения $(-1, 2)$ и $(2, -1)$. Угловой коэффициент $k$ равен:$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 2}{2 - (-1)} = \frac{-3}{3} = -1$.
Воспользуемся уравнением прямой и точкой $(2, -1)$:
$y - (-1) = -1(x - 2)$
$y + 1 = -x + 2$
$y = -x + 1$.

3. Площадь фигуры. Точки пересечения параболы $y = x^2 - 2x - 1$ и прямой $y = -x + 1$ имеют абсциссы $x = -1$ и $x = 2$. На этом интервале прямая находится выше параболы. Площадь $S$ вычисляется по формуле:$S = \int_{-1}^{2} ((-x + 1) - (x^2 - 2x - 1)) \,dx = \int_{-1}^{2} (-x + 1 - x^2 + 2x + 1) \,dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \,dx$.

Этот интеграл полностью совпадает с интегралом, вычисленным в пункте а).
$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \,dx = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: 4.5.